Supongamos que $G_1$ y $G_2$ son sumandos directos de un grupo abeliano sin torsión $G$ . Debe $G_1 \cap G_2$ también ser un sumando directo?
Es cierto cuando $G$ es gratis, al menos.
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Supongamos que $G$ es gratis. Desde $G_1,G_2$ son sumandos directos de $G$ y todo subgrupo de un grupo abeliano libre es también libre , obtenemos que $G/G_1, G/G_2$ son libres. Por otro lado, el núcleo del mapa canónico $G\to G/G_1\times G/G_2$ , $g\mapsto(g\pmod{G_1},g\pmod{G_2})$ es $G_1\cap G_2$ Así que $G/G_1\cap G_2$ es un subgrupo del grupo libre $G/G_1\times G/G_2$ por lo que también es gratuito. Esto es suficiente para demostrar que $G_1\cap G_2$ es un sumando directo de $G$ .
Cuando $G$ es libre de torsión y $G/G_1,G/G_2$ son generados finitamente, el resultado sigue siendo cierto (por el mismo argumento anterior).
En general, no creo que el resultado sea cierto: si $G_1,G_2$ son indecomponibles y $G_1\cap G_2\neq \{0\}$ entonces $G_1\cap G_2$ es un sumando directo de $G$ si $G_1=G_2$ . Lamentablemente, en este momento no tengo un ejemplo de este tipo con $G_1\neq G_2$ .
