¿Cuál es el significado ?

Question

La mayoría de los potenciales con un mínimo puede describirse aproximadamente como un oscilador armónico.

Por lo que el procedimiento es Taylor expandir $U(x)$:

$$U(x)=U(0)+U'(0)x+\frac{1}{2}U''(0)x^2 +...$$

Si suponemos que el potencial es cero en el origen y tiene un mínimo de allí, obtenemos:

$$U(x)=\frac{1}{2}U''(0)x^2$$

Tomamos $U''(0)$ a ser el resorte de constante $k$. Así, el angular de la frecuencia está dada por: $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$

Pero lo que si $U''(0)=0$ y todavía hay un mínimo en cero, como un potencial $U(x)=x^4$?

En este caso, si usted ciegamente aplicar la fórmula se obtiene de la frecuencia cero, lo cual es falso. Qué significa sólo que a una pequeña aproximación de un cuerpo no va a oscilar?

Answer 1

Qué significa sólo que a una pequeña aproximación de un cuerpo no oscilar?

Esto significa que usted debe recordar siempre el contexto en el que una fórmula es válida y no "a ciegas" y su aplicación.

Donde ¿la fórmula? Considere la posibilidad de la homogénea de la ecuación diferencial para el oscilador armónico:

$$\ddot x + \dfrac{k}{m}x = 0$$

con las soluciones de

$$x(t) = Ae^{i\omega t} + Be^{-i\omega t}$$

donde

$$\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} $$

Pero, para una cuártica potencial, la fuerza sobre la masa es

$$F = -k'x^3 $$

por lo tanto, la ecuación diferencial no es lineal:

$$\ddot x + \dfrac{k'}{m}x^3 = 0 $$

y así, uno no debe esperar que el movimiento es un puro (de una sola frecuencia) de la sinusoide.

Y, ya que no hay término lineal en $x$, no hay ninguna aproximación lineal y por lo tanto no hay ningún contexto en que se aplicará la frecuencia de la fórmula para el oscilador armónico.

Answer 2

Como lionelbrits también menciona en su respuesta, uno no puede aplicar la teoría lineal (es decir, la aproximación de oscilador armónico), si los principales coeficientes de Taylor del potencial $U$ desaparece. [Asumimos que $x=0$ sigue siendo un punto mínimo para un potencial incluso $U(x)=U(-x)$].

En un oscilador anarmónicos, el período de $T$ en general dependerá de la amplitud $A$. Sin embargo, el período puede en principio determinarse de la integral

$$ T~=~ 4 \int_0^A!dx \sqrt{\frac{m/2}{U(A)-U(x)}} . $$

Answer 3

Si nos fijamos en un potencial cuártico, verá que es más "plana" en el origen (potencias mayores aproximan progresivamente un pozo cuadrado). El punto es no aplicar ciegamente la fórmula sino tomar los términos de orden más bajo, que es generalmente cuadrática.

Nota todavía puede encontrar el período de oscilación, como se muestra aquí