Lo siento por tal una pregunta trivial, pero solo quería comprobar mi comprensión.
Al probar una declaración, por ejemplo, que el inverso de un elemento del grupo es único (en primaria teoría del grupo) se comienza por suponer que existe dos inversos $h$ $k$ para un determinado elemento $g \in G$ donde $G$ es un grupo con la operación binaria $\ast:G\times G \rightarrow G$, de tal manera que $h\ast g = g\ast h = e$ $k\ast g = g\ast k = e$ donde $e \in G$ es la identidad única para el grupo $G$. A partir de esto, uno puede mostrar que $h=k$, de la siguiente manera: $$ h=h\ast e =h\ast\left( g\ast k\right) = \left(h\ast g\right)\ast k = e\ast k =k$$ and as such $h=k$. Ahora, es la razón por la que podemos de este estado que el inverso de un elemento $g\in G$ es único debido a $h$ $k$ fueron elegidos arbitrariamente, aparte de la obligación de que ellos son los inversos de las $g$, y como tal, si conocemos el valor de uno de los inversos, decir $h$, entonces sabemos que para cualquier otro valor de $k$ es una inversa de a $g$ debe ser equivalente a la conocida inverso $h$, y por lo tanto $h$ es el único inversa de a $g$. Es este razonamiento correcto?
Lo siento por la palabrería de esta pregunta, pero solo quería comprobar mi entender de forma explícita. También, aunque entiendo que, lógicamente, debería haber probado esta primera (pero yo ya había escrito los inversos parte antes de pensar en esto, así que pido disculpas por eso), pero es el razonamiento de la misma para argumentando que el elemento de identidad de un grupo es único? (es decir, Si suponemos que hay dos elementos de identidad $e,g \in G$ y, posteriormente, mostrar que $e=g$, entonces esto implica que, si se conoce la forma de una de las identidades, decir $e$, entonces para cualquier otro valor de $g$ a ser una identidad de grupo $G$ debe ser equivalente a $e$ y por lo tanto el elemento de identidad de un grupo es único).
