Rango, dimensión, la base

Question

Creo que estoy un poco confundido con los términos en el título, así que espero que me corrija si lo tengo mal...

$$\left\lbrace \begin{bmatrix} x_{1}\\0\\0 \end{bmatrix} : x_{1} \in \mathbb{R} \right\rbrace$$ es un espacio vectorial. Hasta ahora tan bueno.

La dimensión del espacio vectorial es el número de vectores de la base.

En clase, me escribió que una base es

$$B=(\begin{bmatrix}{1}\\{0}\\{0}\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}{0}\\{0}\\{0}\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}{0}\\{0}\\{0}\end{bmatrix})$$

Pero esto no parece lógico para mí ahora, como debe ser el menor número de independientes de vectores que abarcan el espacio vectorial. Y no debería ser sólo $(\begin{bmatrix}{1}\\{0}\\{0}\end{bmatrix})$

Así que este es el lugar donde no estoy seguro: ¿cuál es la dimensión del espacio vectorial? Es una línea en ${\mathbb R}^3$, y parecería lógico que la dimensión de una línea es $1$.

¿Y cuál sería el rango? Estoy totalmente confundido a mí mismo.

O es como la dimensión de es $3$ , y el rango es $1$. así que la solución anterior para la base sería correcto...

Muchas gracias por tu ayuda

Answer 1

Las diferencias:

Una base es un subconjunto del espacio vectorial con propiedades especiales: se ha de abarcar el espacio vectorial, y tiene que ser linealmente independientes.

El conjunto inicial de tres elementos que se dio no ser linealmente independientes, pero no abarcan el espacio especificado. En el caso de que usted sólo tiene que llamar a un set de generación de energía.

La dimensión de un número finito de dimensiones de espacio vectorial es un número cardinal: es la cardinalidad de una base (cualquiera!)

El rango de una transformación lineal es la dimensión de su imagen. Es decir, si usted tiene una transformación lineal $f:V\to W$, el rango de $f$ es $\dim(f(V))$. Este es el uso más común de la palabra "rango" regular álgebra lineal. También puedo imaginar algunos autores desafortunadamente el uso de "rango" como un sinónimo de la dimensión, pero esperemos que eso no es muy común.

Así que las tres cosas que se refieren a cada uno de los otros (dimensión es el tamaño de una base, la clasificación es la dimensión de la imagen), pero se puede ver que son cosas diferentes.

Así que, allí donde no estoy seguro de bc ¿cuál es la dimensión de la vectorspace, es una línea en R^3, y parecería lógico que la dimensión de una línea es 1.

El espacio vectorial que usted menciona de hecho tiene dimensión $1$. Es un subespacio de un espacio vectorial de dimensión $3$ ($\mathbb R^3$), pero no tiene dimensión $3$ sí. Sus bases sólo ha $1$ elemento, pero cada base de $\mathbb R^3$ tiene tres elementos. La única relación entre la dimensión de un espacio vectorial $V$ y un subespacio $W\subseteq V$ es que $\dim(W)\leq \dim(V)$, que su ejemplo se muestra.

Answer 2

Tienes razón en la búsqueda de un vector en la base.

Los vectores en una base deben ser linealmente independientes y <span class="math-container">$0$</span> vectores no están permitidos en su base por la misma razón.

Generalmente el rango es definido si usted tiene una transformación lineal o una matriz.

No veo una matriz o una transformación lineal en su estado para encontrar el rango de la misma.

Answer 3

Usted no quiere pensar $$\begin{bmatrix} x_{1}\\0\\0 \end{bmatrix}$$ siendo un espacio vectorial. Un espacio vectorial es un conjunto de vectores (que cumplan ciertas condiciones), por lo que usted desea $$\left\lbrace \begin{bmatrix} x_{1}\\0\\0 \end{bmatrix} : x_{1} \in \mathbb{R} \right\rbrace$$

En segundo lugar, una base es una colección de linealmente independiente de vectores que abarcan el espacio vectorial. Así que usted no debe tener ningún cero vectores en su base.

Entonces su base de este espacio vectorial contendrá un único vector, y así es unidimensional.

Como para clasificar, en general, no hablar de la clasificación de un espacio vectorial; el rango de una matriz es la dimensión de la columna en el espacio de esa matriz.