Intercambio de divisores que suma en Índice

Question

Estaba leyendo libro de teoría analítica del número del Apóstol y vi esta fórmula se utiliza en muchos casos. ¿Por qué es esto cierto?

<span class="math-container">$$ \sum{n=1}^{\infty} \sum{d|n} f(d,n) = \sum{d=1}^{\infty} \sum{n=1}^{\infty} f(d,nd) $$</span>

No veo la intuición detrás de él.

También, que esta espera para sumas finitas, es decir,

<span class="math-container">$$ \sum{n=1}^{m} \sum{d|n} f(d,n) =^{?} \sum{d=1}^{m} \sum{n=1}^{m} f(d,nd) $$</span>

Answer 1

Obtenemos \begin{align*} \color{blue}{\sum_{n=1}^\infty \sum_{d|n}f(d,n)}&=\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{{d=1}\atop{d|n}}^n f(d,n)\tag{1}\\ &=\sum_{{1\leq d\leq n\leq \infty}\atop{d|n}}f(d,n)\tag{2}\\ &=\sum_{d=1}^\infty\sum_{{n=d}\atop{d|n}}^\infty f(d,n)\tag{3}\\ &=\sum_{d=1}^\infty \sum_{{n=d}\atop{dd^{\prime}=n}}^\infty f(d,dd^{\prime})\tag{4}\\ &=\sum_{d=1}^\infty\sum_{d^{\prime}=1}^\infty f(d,dd^{\prime})\tag{5}\\ &\,\,\color{blue}{=\sum_{d=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty f(d,nd)} \end{align*} y el reclamo de la siguiente manera.

Comentario:

• En (1) escribimos el rango del índice de $d$ más explícitamente.

• En (2) escribimos el rango del índice un poco más cómoda.

• En (3) vamos a cambiar el orden de la suma.

• En (4) se introduce $d^\prime$ utilizando la definición de divisor $d$.

• En (5) la suma de $d^\prime$ en lugar de $n$. Observamos $d^\prime=1$ si $n=d$, $d^\prime=2$ si $n=2d$, etc.

Del mismo modo obtenemos \begin{align*} \color{blue}{\sum_{n=1}^m \sum_{d|n}f(d,n)}&=\sum_{n=1}^{m} \sum_{{d=1}\atop{d|n}}^n f(d,n)\\ &=\sum_{{1\leq d\leq n\leq m}\atop{d|n}}f(d,n)\\ &=\sum_{d=1}^m\sum_{{n=d}\atop{d|n}}^m f(d,n)\\ &=\sum_{d=1}^m \sum_{{n=d}\atop{dd^{\prime}=n}}^m f(d,dd^{\prime})\\ &=\sum_{d=1}^m\sum_{d^{\prime}=1}^{\left\lfloor m/d\right\rfloor} f(d,dd^{\prime})\\ &\,\,\color{blue}{=\sum_{d=1}^m\sum_{n=1}^{\left\lfloor m/d\right\rfloor} f(d,nd)} \end{align*}