convergencia de $\int_0^1\int_0^1\int_0^1\int_0^1\frac{\mathrm dx~\mathrm dy~\mathrm dz~\mathrm dw}{(wxy-1)(zwx-1)(yzw-1)(xyz-1)}$

Question

<blockquote> <p><span class="math-container">$$I=\int_0^1\int_0^1\int_0^1\int_0^1\frac{\mathrm dx~\mathrm dy~\mathrm dz~\mathrm dw}{(wxy-1)(zwx-1)(yzw-1)(xyz-1)}=?$$</span></p> </blockquote> <p>Creo que <span class="math-container">$I$</span> diverge porque <span class="math-container">$$\int_0^1\int_0^1\frac{\mathrm dx~\mathrm dy}{(x-1)(y-1)}$ $</span> y <span class="math-container">$$\int_0^1\int_0^1\int_0^1\frac{\mathrm dx~\mathrm dy~\mathrm dz}{(xy-1)(zx-1)(yz-1)}$ $</span> divergen así (por Mathematica). Sin embargo, Mathematica no <span class="math-container">$\iiiint$</span>...</p> <p>¿Alguna idea?</p>

Answer 1

Mediante la expansión de cada término de la $\frac{1}{1-efg}$ tipo como una serie geométrica, a continuación, realizar termwise de integración, tenemos que la cuádruple integral es igual a

$$ \int_{(0,1)^4}\sum_{a,b,c,d\geq 0}x^{b+c+d}y^{a+c+d}z^{a+b+d}w^{b+c+d}\,d\mu$$

$$=\sum_{a,b,c,d\geq 0}\frac{1}{(1+b+c+d)(1+a+c+d)(1+a+b+d)(1+b+c+d)} $$ pero por el AM-GM desigualdad, el último de la serie es mayor que

$$ \sum_{a,b,c,d\geq 0}\frac{1}{\left(1+\frac{3}{4}(a+b+c+d)\right)^4}=\sum_{m\geq 0}\frac{\binom{m+3}{3}}{\left(1+\frac{3}{4}m\right)^4} $$ que es divergente por comparación con la serie armónica.
El mismo argumento funciona en dimensión arbitraria.