Identidad de doble suma

Question

Considere las siguientes identidades de doble suma

$$\sum_{n=0}^\infty\sum_{m=0}^n a(m,n-m) = \sum_{p=0}^\infty\sum_{q=0}^\infty a(p,q) = \sum_{r=0}^\infty\sum_{s=0}^{\lfloor{r/2}\rfloor} a(s,r-2s)$$

La primera identidad la entiendo. La relación entre $(n,m)$ y $(p,q)$ es tal que para cualquier par de naturales existe un único par en el primer rango. Así que todos los pares de naturales aparecen después de todo.

Ahora bien, ¿cómo demostramos la última identidad? ¿Por qué podemos reescribirla así, con la función suelo?

Answer 1

Considerando series formales obtenemos \begin{align*} \color{blue}{\sum_{r=0}^\infty\sum_{s=r}^{\left\lfloor r/2\right\rfloor} a(s,r-2s)} &=\sum_{r=0}^\infty\sum_{s=0}^r a(s,2r-2s)+\sum_{r=0}^\infty\sum_{s=0}^r a(s,2r+1-2s)\tag{1}\\ &=\sum_{0\leq s\leq r\leq \infty}\left(a(s,2(r-s))+a(s,2(r-s)+1)\right)\tag{2}\\ &=\sum_{{0\leq s\leq \infty}\atop{0\leq r-s\leq \infty,\ 0\leq r\leq \infty}}\left(a(s,2(r-s))+a(s,2(r-s)+1)\right)\tag{3}\\ &=\sum_{{0\leq s\leq \infty}\atop{0\leq q\leq \infty}}\left(a(s,2q)+a(s,2q+1)\right)\tag{4}\\ &=\sum_{{0\leq s\leq \infty}\atop{0\leq q\leq \infty}}a(s,q)\tag{5}\\ &\,\,\color{blue}{=\sum_{p=0}^\infty\sum_{q=0}^\infty a(p,q)}\tag{6} \end{align*}

Observaciones:

• En (1) dividimos la doble suma con respecto a par e impar $r$ .

• En (2) escribimos la región índice de forma algo más cómoda y recogemos todos los términos en una suma doble.

• En (3) reformulamos la región índice como preparación para el siguiente paso.

• En (4) introducimos un nuevo índice sumatorio $q = r-s$ y saltar $r$ .

• En (5) simplificamos la expresión (aplicando la ley asociativa).

• En (6) sustituimos finalmente el índice $s$ con $p$ y volver a la notación de índice original.

Answer 2

Escriba a $K = \{(r, s) \colon r, s \in \mathbb{N}, \ r \geqslant 2s\}$ . Las funciones: \begin{align*} & f \colon \mathbb{N}^2 \to K, \ (p, q) \mapsto (2p + q, p), \\ & g \colon K \to \mathbb{N}^2, \ (r, s) \mapsto (s, r - 2s) \end{align*} son biyecciones mutuamente inversas. Por lo tanto, si la familia $(a(p, q))_{p, q \in \mathbb{N}}$ es absolutamente sumable [véase más adelante]: $$ \sum_{p=0}^\infty\sum_{q=0}^\infty a(p,q) = \sum_{p, q \in \mathbb{N}}a(p, q) = \sum_{(r, s) \in K} a(s, r - 2s) = \sum_{r=0}^\infty\sum_{s=0}^{\lfloor{r/2}\rfloor} a(s,r-2s). $$ La primera y la tercera igualdades se desprenden de Dieudonné, Fundamentos del análisis moderno (1969), proposición (5.3.6) :

Sea $(x_\alpha)_{\alpha \in A}$ sea una familia absolutamente sumable de elementos de un espacio de Banach $E$ . Sea $(B_n)$ sea una secuencia infinita de subconjuntos no vacíos de $A$ tal que $A = \bigcup_nB_n$ y $B_p \cap B_q = \emptyset$ para $p \ne q$ ; entonces, si $z_n = \sum_{\alpha \in B_n}x_\alpha$ [ya se ha demostrado que dicha suma está bien definida], la serie $(z_n)$ es absolutamente convergente, y $$\sum_{n=0}^\infty z_n = \sum_{\alpha \in A}x_\alpha$$ ("asociatividad" de series absolutamente convergentes).

En cuanto a la segunda igualdad, citando de nuevo a Dieudonné:

Sea $A$ sea cualquier conjunto denumerable. Decimos que una familia $(x_\alpha)_{\alpha \in A}$ de elementos de un espacio de Banach $E$ es absolutamente sumable si, para una biyección $\varphi$ de $\mathbb{N}$ en $A$ la serie $(x_{\varphi(n)})$ es absolutamente convergente; se deduce de [el teorema de reordenación para series absolutamente convergentes] que esta propiedad es independiente de la biyección particular $\varphi$ y que podemos definir el suma de la familia $(x_\alpha)_{\alpha \in A}$ como $\sum_{n=0}^\infty x_{\varphi(n)}$ que escribimos $\sum_{\alpha \in A}x_\alpha$ .

Es evidente, por tanto, que si $f \colon A \to B$ y $g \colon B \to A$ son biyecciones mutuamente inversas, y ponemos $y_\beta = x_{g(\beta)}$ ( $\beta \in B$ ), de modo que también $x_\alpha = y_{f(\alpha)}$ ( $\alpha \in A$ ), entonces la familia $(x_\alpha)_{\alpha \in A}$ es absolutamente sumable si y sólo si la familia $(y_\beta)_{\beta \in B}$ es absolutamente sumable; y en ese caso, $\sum_{\alpha \in A}x_\alpha = \sum_{\beta \in B}y_\beta$ .