Prueba

Question

Deje $l \leq m$. Deje $X$ ser $|X| = n$ e $Z \subseteq \binom{X}{m}$, por lo que para cada conjunto $L \in \binom{X}{l}$ hay un conjunto de $B \in Z$ con $L \subseteq B$. ¿Cómo se puede demostrar el siguiente: $$|Z| \leq \frac{\binom{n}{l}}{\binom{m}{l}}\,?$$

Yo hice lo siguiente y me gustaría saber si es correcto o no.

$$\binom{n}{l} =\frac{n!}{l!(n-l)!}$$ y

$$\binom{m}{l} =\frac{m!}{l!(m-l)!}\,.$$

Dividiendo ambos:

$$\frac{\frac{n!}{l!(n-l)!}}{\frac{m!}{l!(m-l)!}} = \frac{n!}{l!(n-l)!} \cdot \frac {l!(m-l)!}{m!}\,.$$

Desde $Z \subseteq \binom{X}{m}$, podemos decir que $$Z \subseteq \frac{X!}{m!(X-m)!}\,,$$

por lo que se deduce que

$$\frac{X!}{m!(X-m)!} \leq \frac{n!}{l!(n-l)!} \cdot \frac {l!(m-l)!}{m!}\,.$$

Podemos dividir por $$\frac {l!(m-l)!}{m!}$$

y obtener

$$\frac{X!}{m!(X-m)!} \cdot \frac {m!}{l!(m-l)!} \leq \frac{n!}{l!(n-l)!}\,.$$

Podemos cancelar $m!$ y obtener

$$\frac {|X|!}{(|X|-m)! \cdot l!(m-l)!} \leq \frac{n!}{l!(n-l)!}\,.$$

Desde $|X| = n$, podemos escribir

$$\frac {n!}{(n-m)! \cdot l!(m-l)!} \leq \frac{n!}{l!(n-l)!}\,,$$

lo cual es cierto, porque el más grande es el denominador, menor es el número.

Answer 1

Definir $$S:=\Biggl\{(L,B)\in \binom{X}{l}\times Z\,\Big|\,L\subseteq B\Biggr\}.$$ Puesto que para cada una de las $\displaystyle L\in \binom{X}{l}$, que existe en más de una $B$ en $Z$ para que $L\subseteq B$, tenemos $$|S|\leq \Biggl|\binom{X}{l}\Biggr|=\binom{n}{l}\,.$$ Ahora, cada una de las $B\in Z$ ha $m$ elementos, y por lo tanto, no se $\displaystyle\binom{m}{l}$ subconjuntos $\displaystyle L\in\binom{X}{l}$ tal que $L\subseteq B$. Esto demuestra que $$|S|=\binom{m}{l}\,|Z|\,.$$ El reclamo sigue de inmediato.