ّ Encuentre$x$ tal que$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{(3-x)^2} = \frac{104}{25}$

Question

ّ Encuentre $x$ tal que $$ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{(3-x)^2} = \frac{104}{25}\,.

Mi intento:

PS

No sé cómo proceder desde aquí.

Answer 1

Deje $u=x$ e $v=3-x$. Entonces tenemos $$u+v = 3, \qquad \frac{1}{u^2} + \frac{1}{v^2} = \frac{104}{25}$$ Pero $$\frac{1}{u^2} + \frac{1}{v^2} = \frac{u^2+v^2}{(uv)^2} = \frac{(u+v)^2-2uv}{(uv)^2} = \frac{9-2uv}{(uv)^2}$$ Por lo tanto, $uv$ es una raíz de $$\frac{9-2z}{z^2} = \frac{104}{25}$$ una ecuación cuadrática. Una vez que sepas $uv$ e $u+v$, usted sabe $u$ e $v$ por resolver otro ecuación cuadrática.

Answer 2

Deje $y:=x-\dfrac{3}{2}$. La ecuación se convierte en $$\frac{1}{\left(y+\frac{3}{2}\right)^2}+\frac{1}{\left(y-\frac{3}{2}\right)^2}=\frac{104}{25}\,.$$ Esto es equivalente a $$\frac{y^2+\frac{9}{4}}{\left(y^2-\frac{9}{4}\right)^2}=\frac{52}{25}\,.$$ Deje $z:=\dfrac{1}{y^2-\frac{9}{4}}$, tenemos $$\frac{9}{2}z^2+z=z^2\left(\frac{1}{z}+\frac{9}{2}\right)=\frac{52}{25}\,.$$ Es decir, $$\frac{9}{2}\left(z+\frac{4}{5}\right)\left(z-\frac{26}{45}\right)=0\,.$$ Por lo tanto, $z=-\dfrac45$ o $z=\dfrac{26}{45}$.

En el caso de $z=-\dfrac{4}{5}$, tenemos $$y^2-\frac{9}{4}=\frac{1}{z}=-\frac{5}{4}\,,$$ por lo $y^2=1$o $y=\pm1$. En este caso, $x=\dfrac{1}{2}$ o $x=\dfrac{5}{2}$.

En el caso de $z=\dfrac{26}{45}$, tenemos $$y^2-\frac{9}{4}=\frac{1}{z}=\frac{45}{26}\,.$$ Que es, $y^2=\dfrac{207}{52}$, lo $y=\pm\dfrac{3\sqrt{299}}{26}$. Por lo tanto, $$x=\frac{39\pm3\sqrt{299}}{26}\,.$$

Answer 3

Ahora utiliza el racional de la raíz teorema, Horner algoritmo y un poco de trabajo para encontrar las raíces del polinomio.

El racional de los candidatos para la raíz se $\frac{p}{q}$ donde $p$ es un factor de $225$ (es decir, $3^2\cdot 5^2$) y $q$ es un factor de $104$ (es decir, $2^3\cdot 13$).

Answer 4

Ahora, usted puede hacer lo siguiente.

Fácil ver que $\frac{1}{2}$ e $\frac{5}{2}$ son raíces de la ecuación,

lo que da un factor de $$(2x-1)(2x-5)=4x^2-12x+5$$ y $$104x^4-624x^3+886x^2+150x-225=$$ $$=104x^2-312x^3+130x^2-312x^3+936x^2-390x-180x^2+540x-225=$$ $$=26x^2(4x^2-12x+5)-78(4x^2-12x+5)-45(4x^2-12x+5)=$$ $$=(4x^2-12x+5)(26x^2-78x-45),$$ que da la respuesta: $$\left\{\frac{1}{2},\frac{5}{2},\frac{3}{2}\left(1+\sqrt{\frac{23}{13}}\right),\frac{3}{2}\left(1-\sqrt{\frac{23}{13}}\right)\right\}$$

Answer 5

Se puede ver que $1/2$ es una solución de $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{(3-x)^2} = \frac{104}{25}$ . Entonces es fácil ver que también $5/2$ es una solución.

¿Se puede proceder?