Claro que sí, $f(x) \approx f(x-\delta x)$ Así que puedes emparejar la mayoría de los términos en pares que son aproximadamente $0$ . Pero sólo son aproximadamente cero, y hay un lote de ellos ( $(b-a)/\delta x$ de ellos, y $\delta x$ es muy pequeño). Así, la suma total de ellos puede seguir siendo no despreciable porque son muchos.
De hecho, utilizando el mismo razonamiento, se podría decir que en $\sum f(x)\delta x$ cada término es muy pequeño, ya que $f(x)$ está acotado y $\delta x$ es pequeño. Su enfoque diría entonces que $0$ es una buena aproximación a la integral. Por supuesto, esto es erróneo, porque aunque cada término es pequeño (aproximadamente proporcional a $\delta x$ ), el número de términos es grande de forma que se anula (proporcional a $1/\delta x$ ).
Podemos ser más precisos y decir que $f(x)-f(x-\delta x)\approx f'(x) \delta x$ si $f$ es diferenciable. Por lo tanto, los errores en sus términos también son aproximadamente proporcionales a $\delta x$ Al menos mientras $f'(x)$ está acotado y se mantiene alejado de $0$ . Por lo tanto, podemos esperar un error total no despreciable cuando sumamos $(b-a)/\delta x$ tales errores.
Para ser más precisos, podemos esperar que el error sea $\int_a^b xf'(x)\, dx$ ya que cada término del error tiene la forma $(x-\delta x)(f(x)-f(\delta x))\approx xf'(x)\delta x$ . Podemos comprobarlo rigurosamente: si se integra $\int_a^b f(x)\, dx$ por partes con $u=f(x)$ y $v=x$ (suponiendo que $f$ es continuamente diferenciable) se obtiene $$\int_a^b f(x)\,dx=xf(x)\bigg|_a^b-\int_a^b xf'(x)\,dx=(bf(b)-af(a))-\int_a^b xf'(x)\,dx.$$ El primer término es exactamente el que se encuentra con su aproximación, por lo que el error es efectivamente $\int_a^b xf'(x)\,dx$ . En este sentido, entonces, el error que usted comete es similar a decir que la derivada de $xf(x)$ debe ser $f(x)$ que es lo que se obtiene al diferenciar sólo el $x$ pero ignorando el hecho de que $f(x)$ también puede estar cambiando.
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¿Cómo ha llegado a esa suma?
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@inavda $\sum_{i-a}a^b f(a) \delta x$ es $f(a)\delta x + f(a+\delta x)\delta x + \dots + f(b-\delta x) \delta x + f(b)\delta x$ , pero puedo reemplazar todo $\delta x$ con $x-(x-\delta x)$ . Entonces puedo separar el $x$ y $x-\delta x$ partes. (nótese la suma que estoy tomando $\delta x$ incrementos)
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El error en su aproximación parece $f'(x) \delta x$ pero hay del orden de $\frac{1}{\delta x}$ términos en la suma, por lo que no se puede ignorar.
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@QiaochuYuan Si pudieras detallar por qué el error se ve así y el número de términos lo aceptaría con gusto como respuesta. Si no es así, te agradezco al menos tu comentario. Gracias. (Además, intuitivamente parece que dices "el error no es tan grande si la derivada no es grande, pero como la suma tiene muchos términos al final no es despreciable". Yo estaba pensando algo parecido pero pensaba que si podía hacer "el error" lo suficientemente pequeño el número de términos no debería importar).
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@user106860 : $f(x - \delta x)$ es aproximadamente $f(x) - f'(x)\ \delta x$ porque la derivada de una función la linealiza en ella, o lo que es lo mismo, es la sensibilidad a un cambio insignificante de la entrada, y $\delta x$ es un cambio tan desvanecido.