Soluciones de $n^{n}=2n$ ?

Question

¿Cuál es la mejor manera de encontrar soluciones a $n^{n}$ y $2n$ ? Alguien sugirió la función Lambert W, pero no encuentro la manera de configurarlo de forma que se pueda utilizar. ¿Alguna otra sugerencia?

Es decir, cuáles son las soluciones para $n$ en

$$n^n=2n$$

Answer 1

$n = 2$ es una solución directamente verificable.

Por la inspección del gráfico de $y = n^n - 2n$ Hay otro cero en las inmediaciones de $~0.34...$ que se puede encontrar con una precisión arbitraria numéricamente.

Al observar que $\frac{d(n^n - 2n)}{dn} = n^n(\ln(n)+1) - 2$ la función sólo tiene un mínimo global para $n > 0$ y está aumentando en otros lugares. Por lo tanto, estos son los dos únicos ceros.

Answer 2

Para facilitar el cálculo... podemos partir de $$n^n=2n$$ $$\implies n^{n-1}=2$$ $$\implies n^{n-1}-2=0$$ Ahora vamos a suponer $$f(n)=n^{n-1}-2$$ Vamos a encontrar la raíz utilizando el método de Newton para calcular la raíz numérica de una ecuación. La regla es, $$x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$$ así que, necesitaremos $f'(n)$ Así que, vamos a calcularlo primero. aqui, si calculas la derivada encontraras, $$f'(n)=n^{n-1}\ln 10(\dfrac{n-1}{n \ln 10}+\log n)$$ Entonces, según el método de Newton $$n_{r+1}=n_r-\dfrac{n_r^{n_r-1}-2}{n_r^{n_r-1}\ln 10(\dfrac{n_r-1}{n_r \ln 10}+\log n_r)}$$

Así que, empecemos nuestra primera suposición $$n_o=0.5$$ y continuando el proceso de iteración, obtendremos $$0.25535...\\0.319893...\\0.344004...\\0.346305...\\0.3463233...\\0.3463233$$ De aquí podemos concluir que, una raíz es $n \approx 0.346$

De nuevo, si comenzamos el proceso de iteración tomando la primera hipótesis $n_o=2.5$ nos encontramos con que, $$2.17418...\\2.02494...\\2.00055...\\2.0000002...\\2$$ de aquí podemos concluir que otra raíz es $n=2$

Aquí, $$0.346^{0.346-1}\approx 2$$ de nuevo , $$2^{2-1}=2$$

Por lo tanto, si nuestras raíces calculadas son correctas. Ahora, si quieres sentir la función W de Lambert aquí, entonces solo haz un poco de trabajo... $$n^n=2n$$ $$\implies n^{n-1}=2$$ $$\text{so,}~n=W(2)=\Omega$$ Ahora, podemos escribir, $$\Omega^{\Omega-1}-2=0$$ Ahora, continúe con el mismo proceso mencionado anteriormente.