Encontrar el grado de una extensión algebraica de campo

Question

Deje $K(\alpha)/K$ ser un campo de extensión de grado 4 tal que $\alpha^2$ no es una raíz del polinomio mínimo de a$\alpha$ sobre $K$. Conocer el grado de $K(\alpha^2)/K$.

Hasta ahora he sido capaz de mostrar dos cosas muy básicas: a tal grado se divide en 4 y no 1. Por lo tanto, es de 2 o 4. A través de ejemplos, parece ser el caso de que el 2, pero hasta ahora he sido incapaz de demostrarlo. Los pensamientos?

En efecto, si el grado es 1, tendríamos que $\alpha^2\in K$ y el polinomio mínimo de a$\alpha$ sobre $K$ dividiría $x^2-\alpha^2$ que, a su vez, implicaría que el grado de la extensión de $K(\alpha)/K$ sería de 1 o 2, en contradicción con la hipótesis.

Sospecho que tengo que asumir que el grado es de 4 y la conclusión de que $\alpha^2$ es una raíz del polinomio mínimo de a$\alpha$ sobre $K$, utilizando de alguna manera que, en este caso, $K(\alpha)=K(\alpha^2)$ y, en particular, $\alpha\in K(\alpha^2)$.

Answer 1

• Consideremos, en primer lugar $a=\sqrt[4]2$. Entonces, el polinomio mínimo de a$a$ sobre $\Bbb Q$ es $X^4-2$, e $a^2$ no es una raíz de ello. Por lo $\Bbb Q(a):\Bbb Q$ es de grado $4$, e $\Bbb Q(a^2):\Bbb Q$ de grado dos.

• Además consideramos el número algebraico $a=\sqrt 2+\sqrt 3+\sqrt 6$. El uso de sage obtenemos su polinomio mínimo, y la mínima polinomio de su plaza:

  sage: (sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(6)).minpoly()
  x^4 - 22*x^2 - 48*x - 23
  sage: ( (sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(6))^2 ).minpoly()
  x^4 - 44*x^3 + 438*x^2 - 1292*x + 529
  

por lo tanto algebraica de los números de generar un campo de grado cuatro más de $\Bbb Q$. Debido al evidente la inclusión, los dos campos son iguales.