derivada parcial de una función multivariable con respecto a otra función

Question

Digamos que tengo una función $f(x,y,z)$ . Si sé $t= \sqrt{x+\sqrt{x^2+ y*z}}$ y conozco los parciales $\large\frac{\partial{f}}{\partial{x}}$ , $\large\frac{\partial{f}}{\partial{y}}$ , $\large\frac{\partial{f}}{\partial{z}}$ ¿Cómo podría aplicar la regla de la cadena para obtener $\large\frac{\partial{f}}{\partial{t}}$ ?

Yo habría pensado:

$$\frac{\partial{f}}{\partial{t}} = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{t}} + \frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{t}} +\frac{\partial{f}}{\partial{z}}\frac{\partial{z}}{\partial{t}}$$

Sin embargo, ya siento que estoy en el camino equivocado. ¿Puede alguien darme una idea de cómo construir $\large\frac{\partial{f}}{\partial{t}}$ en términos de $\large\frac{\partial{f}}{\partial{x}}$ , $\large\frac{\partial{f}}{\partial{y}}$ y $\large\frac{\partial{f}}{\partial{z}}$ ?

Answer 1

Su deducción es formalmente correcta, es decir, es cierto que $$ \frac{\partial{f}}{\partial{t}} = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{t}} + \frac{\partial{f}}{\partial{y}}\frac{\partial{y}}{\partial{t}} +\frac{\partial{f}}{\partial{z}}\frac{\partial{z}}{\partial{t}}\label{1}\tag{1} $$ Sin embargo, te has saltado un paso básico: con tu definición de $t$ ¿Cómo se pueden deducir tres funciones $$ t\mapsto \big(x(t), y(t), z(t)\big)\; $$ es decir, definir una función $\boldsymbol{p}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^3$ tal que $f(t)\triangleq f(\,\boldsymbol{p}(t))=f\big(x(t), y(t), z(t)\big)$ ?
La relación que está considerando, es decir $$ t= \sqrt{x+\sqrt{x^2+ y\cdot z}}\label{2}\tag{2} $$ define una variedad bidimensional en $\mathbb{R}^3$ y para parametrizarlo se necesitan dos parámetros por lo que no se puede utilizar \eqref {2} para definir cualquier $\boldsymbol{p}=\boldsymbol{p}(t)$ .