Una pregunta sobre Hartshorne Capítulo III Proposición 2.6

Question

Cuando leí Hartshorne, vi la Proposición 2.6 en el Capítulo III de la siguiente manera:

Deje $(X,\mathcal{O}_X)$ ser un espacio anillado. Entonces la derivada de functors de la functor $\Gamma(X,-)$ a partir de la categoría de $\mathcal{O}_X$-a los módulos de la categoría de abelian grupos coinciden con la cohomology functors $H^{i}(X,-)$.

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Estoy bastante confundido aquí porque creo que es la definición de cohomology functor... ¿por Qué nos debe molestar a utilizar el resultado sobre la flasque gavilla y acíclicos resolución para demostrar esto?

Así que me debe faltar algo importante y evidente. Por favor, seleccione el. Gracias!

Answer 1

El functor $\Gamma(X,-)$ se define inicialmente en la página 207 como un funtor $Sh(Ab, X) \to Ab$ , donde $Sh(Ab, X)$ es la categoría de gavillas de grupos abelianos en $X$ .

Usted tiene el funtor olvidadizo $U : Mod(O_X) \to Sh(Ab, X)$ , y la afirmación es que $$R^i(\Gamma(X,-) \circ U) \cong R^i(\Gamma(X,-)) \circ U,$ $ lo que necesita una prueba.