Si 1, $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\ldots$, $\alpha_{n-1}$ son nth raíces de la unidad entonces...

Question

si es 1, $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\ldots$, $\alpha_{n-1}$ son las raíces enésimas de la unidad, a continuación, $$\frac{1}{1-\alpha_1} + \frac{1}{1-\alpha_2} + \frac{1}{1-\alpha_3}+\ldots+\frac{1}{1-\alpha_n} = ?$$

Ahora esto tiene la solución, pero no entiendo el último paso de la solución, así que aquí está la solución del libro.

$1,\, \alpha_1, \, \alpha_2,\, \ldots, \, \alpha_n$ son $n^\text{th}$ de la unidad. Estas son las raíces de $x^n-1=0$

Deje $y=\frac{1}{1-\alpha}$ donde $\alpha = \alpha_1, \, \alpha_2, \, \alpha_3, \, \ldots, \, \alpha_n$

$$1 - \alpha = \frac{1}{y} \Rightarrow \alpha = \frac{y-1}{y}.$$

Pero $\alpha$ es una raíz de $x^n-1=0 \therefore \alpha^n=1 \Rightarrow (y-1)^n = y^n$

$$\Rightarrow y^n - _nC_1y^{n-1} + _nC_2y^{n-2}-\ldots+(-1)^n = y^n \\ \Rightarrow - _nC_1y^{n-1} + _nC_2y^{n-2}-\ldots+(-1)^n = 0.$$

La suma de las raíces $$\frac{1}{1-\alpha_1}+\frac{1}{1-\alpha_2}+\ldots+\frac{1}{1-\alpha_{n-1}} = \frac{_nC_2}{_nC_1} = \frac{n-1}{2}$$

Para esta última parte de "la Suma de las raíces" yo no lo entiendo. No puedo ver cómo esta última forma se refiere a este teorema binomial notación. Alguien puede ayudar?

Answer 1

Considere el polinomio $$P(z)=-{_nC_1} z^{n-1}+{_nC_2}z^{n-2}-\cdots +(-1)^n.\tag{1}\label{1}$$ La respuesta muestra que los números de $y_i=\frac{1}{1-\alpha_i}$ son todas las raíces de $P$, por lo que deben ser todas las raíces. Por lo tanto debemos tener $$P(z)=-{_nC_1}(z-y_1)\cdots(z-y_{n-1})\tag{2}\label{2}$$ A continuación, la comparación de los coeficientes de $z^{n-2}$ en $P$ desde \eqref{1} y \eqref{2}, nos encontramos con $${_nC_2}={_nC_1}\left(\sum_i y_i\right)$$ y así $$\sum_i y_i=\frac{_nC_2}{_nC_1}.$$

Answer 2

Dado que ya has obtenido alguna clarificación sobre el libro de texto de la solución, os voy a presentar una solución diferente. También se puede demostrar observando que las raíces de $x^n-1=0$ se $1,\xi,\xi^2,\ldots,\xi^{n-1}$, donde $$\xi=e^{\frac{2\pi i}{n}}.$$ Por lo tanto, podemos considerar a $a_k$ a $\xi^k$ para $k=1,2,\ldots,n-1$. Ahora, $$\frac{1}{1-a_k}+\frac{1}{1-a_{n-k}}=\frac{1}{1-\xi^k}+\frac{1}{1-\xi^{n-k}}=\frac{1}{1-\xi^k}+\frac{1}{1-\frac{\xi^n}{\xi^k}}.$$ Desde $\xi^n=1$, obtenemos $$\frac{1}{1-a_k}+\frac{1}{1-a_{n-k}}=\frac{1}{1-\xi^k}+\frac{1}{1-\frac{1}{\xi^k}}=\frac{1}{1-\xi^k}+\frac{\xi^k}{\xi^k-1}=1.$$ Por lo tanto, $$2\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{1-a_k}=\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{1-a_k}+\frac{1}{1-a_{n-k}}\right)=\sum_{k=1}^{n-1}1=n-1,$$ así $$\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{1-a_k}=\frac{n-1}{2}.$$

Answer 3

La suma de las raíces de <span class="math-container">$anx^{n}+a{n-1}x^{n-1}+\cdots +a0$</span> es <span class="math-container">$-\frac {a{n-1}} {a_n}$</span>.