Monoid de la categoría de endofunctors y Monoid como categoría con un objeto

Question

Citando a partir de Categorías para el Trabajo Matemático por Saunders Mac Lane:

Todo dicho, una mónada en X es solo un monoid en la categoría de endofunctors de X, con x sustituida por la composición de endofunctors y unidad de conjunto por la identidad endofunctor.

Al mismo tiempo, un Monoid es una categoría con un objeto. Dado un Monoid en la categoría de endofunctors de X como en el anterior, ¿cómo podemos llegar a una categoría con un objeto a partir de ahí? Por favor especificar exactamente lo que el objeto y los morfismos de esta categoría.

Seguimiento pregunta: Elementos de la Monoid en la categoría de endofunctors

Answer 1

La cita que mencionas no decir que las mónadas son monoids en el sentido usual de la palabra; se dice que son monoids en la categoría monoidal de endofunctors de $X$. Un monoid en una categoría monoidal (o monoid objeto, como se sugiere por Derek Elkins en un comentario) es no un monoid; ese es un arenque rojo. En general, un monoid objeto es una oject de una categoría que no es necesariamente el hormigón, por lo que no será necesario ningún tipo de conjunto; en particular, no se necesita tener ningún tipo de elementos. Pero ver a un (habitual) monoid como una categoría de objeto significa, precisamente, que identifique sus elementos con las flechas de una categoría; por lo que no pueden hacer eso por monoid objetos.

No obstante, se puede identificar tales monoids con un objeto enriquecido categorías, exactamente en la misma forma que el clásico monoids puede ser identificado con la clásica de un objeto categorías (de hecho, el caso clásico es sólo el enriquecimiento sobre los conjuntos con el producto cartesiano).