¿Está$\mathbb{R}^4$ menos una línea simplemente conectada?

Question

¿Está el conjunto $\mathbb{R}^4\setminus \{(0,0,0,w) | w\in \mathbb{R} \}$ simplemente conectado? Comencé a tratar de comprender la noción de conexión simple en dimensiones más altas y me di cuenta de que no podía ni siquiera imaginar una pregunta tan básica.

Mi intuición dice que no está simplemente conectada, pero tal vez puedas torcer las cosas en 4 dimensiones de una manera que no puedo visualizar.

Answer 1

Tienes $\mathbb{R}^4\setminus \{(0,0,0,w) | w\in \mathbb{R} \} = (\mathbb{R}^3\setminus \{(0,0,0 \}) \times \mathbb{R}$ , por lo tanto, $\mathbb{R}^4\setminus \{(0,0,0,w) | w\in \mathbb{R} \}$ es homotopy equivalente a $\mathbb{R}^3\setminus \{(0,0,0 \}$ . Este espacio es homotopy equivalente a $S^2$ (de hecho, $S^2$ es una retracción por deformación fuerte de $\mathbb{R}^3\setminus \{(0,0,0 \}$ ) que se sabe que está simplemente conectado.

Answer 2

Una manera de visualizar las curvas de $\mathbb{R}^4$ es pensar en las curvas como en $\mathbb{R}^3$ a través de una proyección, a continuación, mantener un seguimiento de la $w$-coordinar a través del color a lo largo de la curva. Dos curvas puede pasar a través de unos a otros sin que se intersectan en $\mathbb{R}^4$ si tienen diferentes colores cuando se cruzan en $\mathbb{R}^3$.

En la proyección sobre la $xyw$ espacio, $\mathbb{R}^4$ menos que una línea es $\mathbb{R}^3$ menos una línea. Si usted tiene un bucle cerrado en el complemento, se puede desenganchar de la línea mediante el cambio del color del bucle de manera que es un color distintivo de la línea.

En la proyección sobre la $xyz$ espacio, es $\mathbb{R}^3$ menos en el origen, en cuyo caso es bastante obvio que no hay obstrucción a la deformación de cualquier bucle a un punto!

Sin embargo, otra manera de ver es a la deformación retraer $\mathbb{R}^4-\{(0,0,0,w):w\in\mathbb{R}\}$ para el conjunto de los vectores unitarios en este espacio. Esto se traduce en $S^3$ menos de dos puntos, que es simplemente conectado.