¿Teoría de la integración / medida "paradoja"?

Question

Me he encontrado con la siguiente "paradoja." Considere la posibilidad de una densa contables subconjunto de $\mathbb{R}$, por ejemplo, $\mathbb{Q}$. Porque el conjunto es contable podemos parametrise por $\mathbb{Q} = \{ a_n \}_{n=1}^\infty$. A continuación, considere la función (para algunos $\epsilon >0$) $$\sum_{n=1}^\infty \chi_{[a_n, a_n + \epsilon/2^n)} $$ donde $\chi$ es el indicador de la función. Debido a que el conjunto de $\mathbb{Q}$ es densa, esta función converge hacia el infinito en todas partes. Pero integral, de acuerdo a la medida de Lebesgue es $$\int_{\mathbb{R}} \sum_{n=1}^\infty \chi_{[a_n, a_n + \epsilon/2^n)} d\mu = \sum_{n=1}^\infty \int_{\mathbb{R}} \chi_{[a_n, a_n + \epsilon/2^n)} d\mu = \sum_{n=1}^\infty \frac{\epsilon}{2^n} = \epsilon$$ donde nos han conmutado la suma y la integral utilizando B. Levi del teorema de convergencia monótona. Donde está mi error?

EDIT: poco después de este anuncio, me di cuenta de que mi intuición la función converge hacia el infinito en todas partes está mal.

Answer 1

Como otro ejemplo divertido, podrías considerar una función como: $$x\mapsto \sum_{n\in \mathbb N} \frac{\varepsilon_n}{\sqrt{|x-a_n|}}$ $ puedes encontrar fácilmente una secuencia $(\varepsilon_n)_{n\in\mathbb N}$ de manera que esta suma converja ... en $L^1$ .