¿Qué tipo de regularidad "geométrica" $f'^2$ da el $f$

Question

Cuando resuelvo problemas de "análisis real" me gusta representar las funciones implicadas y pensar geométricamente lo que está pasando.

Hoy me ha tocado el siguiente ejercicio :

Sea $f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})$ , $$\int_\mathbb{R} \mid f \mid \in \mathbb{R}$$ $$\int_\mathbb{R} f'^2 \in \mathbb{R}$$ Demostrar que $f$ es continua de Hölder.

Cuando veo el supuesto involucrado no es difícil ver que debe haber alguna desigualdad de Cauchy-Schwartz en alguna parte (porque el supuesto de absolutamente integrable es sobre el cuadrado de la derivada y no sólo sobre la derivada en sí).

Así que, con esto en mente obtenemos fácilmente la siguiente prueba :

W $$ \mid f(x) -f(y) \mid \leq \int_x^y 1 \times f' \leq \sqrt{\int_x^y f'^2}\sqrt{y-x} $$ De ello se deduce que $f$ es $\frac{1}{2}-$ Continuo de Hölder ya que $\sqrt{\int_x^y f'^2}$ está limitada.

Como has notado no es difícil llegar a la demostración ya que la suposición del problema sobre la integrabilidad absoluta de la cuadrado de la derivada de $f$ lleva directamente a pensar que debemos utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwartz.

El problema es que no me gusta esta forma de pensar. Por eso busco una intuición geométrica del problema.

Por ejemplo, si sólo tenemos el supuesto de integrabilidad absoluta en $f'$ en lugar de $f'^2$ ¿sigue siendo válido el resultado?

Por qué el hecho de que: $\int_\mathbb{R} f'^2 \in \mathbb{R}$ implican tanta regularidad para $f$ ?

$\ldots$

Answer 1

Desde $f$ se supone que es $C^1$ la integrabilidad de $(f')^2$ no te está dando una regularidad adicional. En cualquier intervalo compacto $[a,b]$ tienes por el teorema del valor medio $$|f(x) - f(y)| \le |x-y| \sup_{z \in [a,b]} |f'(z)| \le \left( |b-a|^{1/2}\sup_{z \in [a,b]} |f'(z)| \right) |x-y|^{1/2} $$ para que $f$ es localmente Titular continuo. El problema es que se pierde el control de la constante Holder a medida que el intervalo $[a,b]$ se hace grande. La condición de integrabilidad de $f'$ le proporciona una forma de obtener un control uniforme sobre la constante.