¿Cuál es la diferencia entre $\mathbb{R}^2$ y el plano complejo?

Question

Todavía no he hecho ningún curso de análisis complejo, pero ahora tengo esta pregunta relacionada con él.

Veamos un ejemplo muy sencillo. Supongamos que $x,y$ y $z$ son las coordenadas cartesianas y tenemos una función $z=f(x,y)=\cos(x)+\sin(y)$ . Sin embargo, ahora cambio el $\mathbb{R}^2$ avión $x,y$ al plano complejo y hacer una nueva función, $z=\cos(t)+i\sin(t)$ .

Entonces, ¿alguien puede decirme algunas diferencias famosas y fundamentales entre el plano complejo y $\mathbb{R}^2$ por este ejemplo, como algunas características $\mathbb{R}^2 $ tiene pero el plano complejo no o al revés. (En realidad estoy tratando de entender por qué los ingenieros eléctricos siempre quieren poner la señal en los números complejos en lugar de $\mathbb{R}^2$ si una señal está afectada por 2 componentes)

Gracias por ayudarme.

Answer 1

$\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{C}$ tienen la misma cardinalidad, por lo que hay (muchos) mapas biyectivos de uno a otro. De hecho, hay una (o quizás unas pocas) que podríamos llamar biyecciones "obvias" o "naturales", por ejemplo $(a,b) \mapsto a+bi$ . Esto es más que una biyección:

• $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{C}$ son también espacios métricos (bajo la métrica "obvia"), y esta biyección es una isometría, por lo que estos espacios "parecen iguales".
• $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{C}$ son también grupos bajo adición, y esta biyección es un homomorfismo de grupo, por lo que estos espacios "tienen la misma adición".
• $\mathbb{R}$ es un subcampo de $\mathbb{C}$ de forma natural, por lo que podemos considerar $\mathbb{C}$ como $\mathbb{R}$ -donde se convierte en isomorfo a $\mathbb{R}^2$ (es más o menos la misma afirmación que la anterior).

He aquí algunas diferencias:

• Ver $\mathbb{R}$ como un anillo, $\mathbb{R}^2$ es en realidad un producto directo (cartesiano) de $\mathbb{R}$ con ella misma. Productos directos de los anillos en general vienen con una multiplicación natural del "producto", $(u,v)\cdot (x,y) = (ux, vy)$ y no suele ser el caso que $(u,v)\cdot (x,y) = (ux-vy, uy+vx)$ tiene sentido o es interesante en los productos directos generales de los anillos. El hecho de que haga $\mathbb{R}^2$ parecer $\mathbb{C}$ (de manera que se conserve la adición y la métrica) es en cierto modo un accidente. (Compara $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ y $\mathbb{Z}^2$ de la misma manera).
• Funciones diferenciables $\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ no son lo mismo que las funciones diferenciables $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ . (El significado de "diferenciable" cambia de forma significativa con el campo base. Véase el análisis complejo). Lo mismo ocurre con las funciones lineales. (El mapa $(a,b)\mapsto (a,-b)$ o $z\mapsto \overline{z}$ es $\mathbb{R}$ -lineal pero no $\mathbb{C}$ -lineal).

Answer 2

La gran diferencia entre $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{C}$ : diferenciabilidad.

En general, una función de $\mathbb{R}^n$ a sí mismo es diferenciable si existe una transformación lineal $J$ tal que el límite existe:

$$\lim_{h \to 0} \frac{\mathbf{f}(\mathbf{x}+\mathbf{h})-\mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{J}\mathbf{h}}{\|\mathbf{h}\|} = 0$$

donde $\mathbf{f}, \mathbf{x}, $ y $\mathbf{h}$ son cantidades vectoriales.

En $\mathbb{C}$ tenemos una noción más fuerte de diferenciabilidad dada por las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

$$\begin{align*} f(x+iy) &\stackrel{\textrm{def}}{=} u(x,y)+iv(x,y) \\ u_x &= v_y, \\ u_y &= -v_x. \end{align*} $$

Estas ecuaciones, si se satisfacen, dan ciertamente lugar a una transformación lineal invertible como la requerida; sin embargo, la definición de multiplicación y división compleja requiere que estas ecuaciones se mantengan para que el límite

$$\lim_{h\ \to\ 0} \frac{f(z+h)-f(z)-Jh}{h} = 0$$

de existir. Nótese la diferencia: dividimos por $h$ y no por su módulo.

---

En esencia, la multiplicación entre elementos de $\mathbb{R}^2$ no se define de forma general (aunque podríamos, si quisiéramos), ni tampoco la división (que también podríamos intentar hacer, dado cómo definimos la multiplicación). No tener estas cosas significa que la diferenciabilidad en $\mathbb{R}^2$ es un poco más "topológico": no nos preocupa demasiado dónde $\mathbf{h}$ es, sólo que se hace pequeño, y que existe una transformación lineal no singular en el punto de diferenciación. Todo esto se deriva de la generalización del teorema de la función inversa, que básicamente se puede abordar de forma completamente topológica.

En $\mathbb{C}$ ya que podemos dividir por $h$ porque tenemos una noción rigurosa de la multiplicación y la división, queremos asegurarnos de que la derivada existe independientemente de la trayectoria $h$ toma. Si hay algún truco debido al camino $h$ está tomando, no podemos lavarlo con la topología tan fácilmente.

En $\mathbb{R}^2$ La cuestión de la independencia de la trayectoria es menos evidente y menos grave. Tales funciones son analítica y en los reales podemos tener funciones diferenciables que no son analíticas. En $\mathbb{C}$ La diferenciabilidad implica la analiticidad.

---

Ejemplo:

Considere $f(x+iy) = x^2-y^2+2ixy$ . Tenemos $u(x,y) = x^2-y^2$ y $v(x,y) = 2xy$ . Es trivial demostrar que $$u_x = 2x = v_y, \\ u_y = -2y = -v_x,$$ por lo que esta función es analítica. Si tomamos esto sobre los reales, tenemos $f_1 = x^2-y^2$ y $f_2 = 2xy$ entonces $$J = \begin{pmatrix} 2x & -2y \\ 2y & 2x \end{pmatrix}.$$ Tomando el determinante, encontramos $\det J = 4x^2+4y^2$ que es distinto de cero excepto en el origen.

Por el contrario, considere $f(x+iy) = x^2+y^2-2ixy$ . Entonces,

$$u_x = 2x \neq -2x = v_y, \\ u_y = -2y \neq 2y = -v_x,$$

por lo que la función no es diferenciable.

Sin embargo, $$J = \begin{pmatrix} 2x & 2y \\ -2y & -2x \end{pmatrix}$$ que no es singular en todas partes, por lo que ciertamente podemos obtener una derivada de valor real de la función en $\mathbb{R}^2$ .

Answer 3

Lo explicaré más desde la perspectiva de un ingeniero eléctrico (que lo soy) que de un matemático (que no lo soy).

El plano complejo tiene varias propiedades útiles que surgen debido a la identidad de Euler:

$$Ae^{i\theta}=A(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$$

A diferencia de los puntos del plano real $\mathbb{R}^2$ Los números complejos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. La multiplicación y la división tienen un significado útil que se debe a la identidad de Euler:

$$Ae^{i\theta_1}\cdot{Be^{i\theta_2}}=ABe^{i(\theta_1+\theta_2)}$$

$$Ae^{i\theta_1}/{Be^{i\theta_2}}=\frac{A}{B}e^{i(\theta_1-\theta_2)}$$

En otras palabras, multiplicar dos números en el plano complejo hace dos cosas: multiplica sus valores absolutos y suma el ángulo que forman con la recta de los números reales. Esto hace que el cálculo con fasores sea una simple cuestión de aritmética.

Como han dicho otros, la suma, la resta, la multiplicación y la división pueden definirse simplemente de la misma manera en $\mathbb{R}^2$ pero tiene más sentido utilizar el plano complejo, porque es una propiedad que se produce de forma natural debido a la definición de los números imaginarios: $i^2=-1$ .

Answer 4

La diferencia es que en el plano complejo, tienes una multiplicación $\mathbb C\times\mathbb C\to\mathbb C$ definido, lo que hace que $\mathbb C$ en un campo (lo que significa básicamente que todas las reglas habituales de la aritmética se mantienen).

Answer 5

Si $X = \mathbb C$ (un espacio vectorial unidimensional sobre el campo escalar $\mathbb C$ ), [sus] conjuntos equilibrados son $\mathbb C$ el conjunto vacío $\emptyset$ y todo disco circular (abierto o cerrado) centrado en $0$ . Si $X = \mathbb R^2$ (un espacio vectorial bidimensional sobre el campo escalar $\mathbb R$ ), hay muchos más conjuntos equilibrados; cualquier segmento de línea con punto medio en $(0,0)$ lo hará. La cuestión es que, a pesar de la conocida y evidente identificación de $\mathbb C$ con $\mathbb R^2$ Estos dos son completamente diferentes en lo que respecta a la estructura de su espacio vectorial.

-W. Rudin (1973)