¿Qué estoy haciendo mal resolviendo este sistema de ecuaciones?

Question

$$\begin{cases} 2x_1+5x_2-8x_3=8\\ 4x_1+3x_2-9x_3=9\\ 2x_1+3x_2-5x_3=7\\ x_1+8x_2-7x_3=12 \end{casos}$$

Desde mi elemental por filas, me sale que no tiene solución. (Fila son las operaciones que se leen de arriba a abajo.)

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 5 & -8 & 8 \\ 4 & 3 & -9 & 9 \\ 2 & 3 & -5 & 7 \\ 1 & 8 & -7 & 12 \end{array}\right] \desbordado{\desbordado{\large{R_1\a R_1-R_3}}{{R_2\a R_2-2R_3}}}{\desbordado{R_3\a R_3-2R_4}{\large\longrightarrow}} \left[\begin{array}{ccc|c} 0 & 2 & -3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & -5 \\ 0 & -13 & 9 & -17 \\ 1 & 8 & -7 & 12 \end{array}\right] \desbordado{\desbordado{\large{R_3\,\leftrightarrow\, R_4}}{R_2\,\leftrightarrow\, R_3}}{\desbordado{R_1\,\leftrightarrow\,R_2}{\large\longrightarrow}} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 8 & -7 & 12 \\ 0 & 2 & -3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & -5 \\ 0 & -13 & 9 & -17 \end{array}\right]$$

$$\desbordado{R_4\a R_4-R_3}{\large\longrightarrow} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 8 & -7 & 12 \\ 0 & 2 & -3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & -5 \\ 0 & 10 & 8 & -12 \end{array}\right] \desbordado{\desbordado{\large{R_3\a R_3+R_2}}{R_4\a R_4-5R_2}}{\large\longrightarrow} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 8 & -7 & 12 \\ 0 & 2 & -3 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & 23 & -17 \end{array}\right] \desbordado{\desbordado{\large{R_2\a R_2+2R_3}}{R_3\R_3}}{\large\longrightarrow}$$

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 8 & -7 & 12 \\ 0 & 0 & -7 & -7 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 23 & -17 \\ \end{array}\right] \desbordado{R_2\,\leftrightarrow\,R_3}{\large\longrightarrow} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 8 & -7 & 12 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & -7 & -7 \\ 0 & 0 & 23 & -17 \\ \end{array}\right]$$

Sin embargo, la respuesta en el libro de $(3, 2, 1)$ encaja en el sistema.

Hubo un error aritmético, o no me malinterprete algo fundamentalmente?

Answer 1

Sugerencia: trate de inputing la solución <span class="math-container">$(3,2,1)$</span> en cada paso. Le permitirá identificar el paso que salió mal.

Answer 2

Que hacer (en la tercera matriz): <span class="math-container">$$L3-L4=(0, -3, 1 \mid -5)-(0, -13, 9 \mid -19)=(0, 10, -8 \mid 12)$% $ #%(0, 10, 8 \mid-12) de #%</span> en su lugar.

Answer 3

Nota 1: se Refiere a 5xum la respuesta, en caso de que usted no sabe la respuesta final, cualquier solución, por ejemplo: $$(x_1,x_2,x_3)=(0,0,-1);(0,0,-1);(1,0,-1);(12,0,0) \ \ \text{(respectively)}$$ Nota 2: En el paso $3$, puede reducir la columna de $3$ en lugar de la columna $2$: $$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&8&-7&12\\ 0&2&-3&1\\ 0&-3&1&-5\\ 0&-13&9&-17\\ \end{array} \right] \Rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&8&-7&12\\ 0&-7&0&-14\\ 0&-3&1&-5\\ 0&14&0&28\\ \end{array} \right] \stackrel{\frac{-R_2}{7};\\ \frac{-3R_2}{7}+R_3}{=}\Rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&8&-7&12\\ 0&1&0&2\\ 0&0&1&1\\ 0&14&0&28\\ \end{array} \right]$$ La segunda y cuarta ecuaciones son dependientes, por lo tanto, producen la misma solución $x_2=2$. Usted puede terminar con el problema de ahora.

Nota 3. Cuando usted no puede encontrar su error (a veces el cerebro se bloquea/accustommed y no se puede ver los errores evidentes), deje por un tiempo (1 hora, 1 día) y volver con la mente fresca. Usted se sorprenderá al ver fácilmente el error.

Answer 4

Por lo general, usted no sabe la solución de la ecuación. Así que hay que utilizar otros métodos para comprobar su cálculo. Es una manera de agregar las sumas de comprobación para su cálculo.

No iniciar sus cálculos con la matriz original

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 5 & -8 & 8 \\ 4 & 3 & -9 & 9 \\ 2 & 3 & -5 & 7 \\ 1 & 8 & -7 & 12 \end{array}\right] $$

pero comenzar con la matriz aumentada por una columna a la derecha. Un elemento de esta columna es igual a la suma de los otros elementos de esta fila. Por lo que la matriz ampliada es

$$\left[\begin{array}{ccc|c|c} 2 & 5 & -8 & 8 & 7 \\ 4 & 3 & -9 & 9 & 7 \\ 2 & 3 & -5 & 7 & 7 \\ 1 & 8 & -7 & 12 & 14 \end{array}\right] $$

Hacer la misma fila de operaciones como con la original de matrices.

Así que en lugar de

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 5 & -8 & 8 \\ 4 & 3 & -9 & 9 \\ 2 & 3 & -5 & 7 \\ 1 & 8 & -7 & 12 \end{array}\right] \desbordado{\desbordado{\large{R_1\a R_1-R_3}}{{R_2\a R_2-2R_3}}}{\desbordado{R_3\a R_3-2R_4}{\large\longrightarrow}} \left[\begin{array}{ccc|c} 0 & 2 & -3 & 1 \\ 0 & -3 & 1 & -5 \\ 0 & -13 & 9 & -17 \\ 1 & 8 & -7 & 12 \end{array}\right]$$

usted

$$\left[\begin{array}{ccc|c|c} 2 & 5 & -8 & 8 & 7 \\ 4 & 3 & -9 & 9 & 7 \\ 2 & 3 & -5 & 7 & 7 \\ 1 & 8 & -7 & 12 & 14 \end{array}\right] \desbordado{\desbordado{\large{R_1\a R_1-R_3}}{{R_2\a R_2-2R_3}}}{\desbordado{R_3\a R_3-2R_4}{\large\longrightarrow}} \left[\begin{array}{ccc|c} 0 & 2 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 & -5 & -7 \\ 0 & -13 & 9 & -17 & -21 \\ 1 & 8 & -7 & 12 & 14 \end{array}\right]$$

A continuación, compruebe si la matriz que calcula la suma de comprobación es todavía válida. Aquí la suma de comprobación es correcta.

Ahora vamos a investigar el paso dónde se produce el error. Tenemos

$$\left[\begin{array}{ccc|c|c} 1 & 8 & -7 & 12 & 14 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 & -5 & -7 \\ 0 & -13 & 9 & -17 & -21 \end{array}\right] \desbordado{R_4\a R_4-R_3}{\large\longrightarrow} \left[\begin{array}{ccc|c | c} 1 & 8 & -7 & 12 & 14\\ 0 & 2 & -3 & 1 & 0\\ 0 & -3 & 1 & -5 & -7\\ 0 & 10 & 8 & -12 & -14 \end{array}\right] $$

Para esta matriz resultado de la suma de comprobación de la fila 4 no es válido, por lo que un error debe haber ocurrido.

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En realidad la suma de comprobación de la propiedad de medios de $(1,1,1,1)^T$ es una solución del siguiente sistema de ecuaciones que corresponde a la matriz ampliada:

$$\begin{eqnarray} 2x_1&+&5x_2&-&8x_3&+&8x_4&=&7\\ 4x_1&+&3x_2&-&9x_3&+&9x_4&=&7\\ 2x_1&+&3x_2&-&5x_3&+&7x_4&=&7\\ x_1&+&8x_2&-&7x_3&+&12x_4&=&14 \end{eqnarray}$$

Por lo que este método es similar al método en respuesta, donde la solución dada por el libro de texto utilizado.

Lo que si este método no descubrir los errores. Esto puede suceder si se realiza con más de un error en un paso - a Continuación, puede utilizar un promedio ponderado de suma de comprobación para intentar descubrir el error.