Posibles definiciones de función exponencial

Question

Me preguntaba cuántas definiciones de funciones exponenciales podemos pensar. Los básicos podrían ser:

<span class="math-container">¿$$e^x:=\sum{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}$ $</span> también <span class="math-container">$$e^x:=\lim{n\to\infty}\bigg(1+\frac{x}{n}\bigg)^n$ $</span> o esta uno: definir <span class="math-container">$e^x:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\$</span> como única función satisfacer: <span class="math-container">\begin{align} e^x\geq x+1\ \forall x,y\in\mathbb{R}:e^{x+y}=e^xe^y \end {Alinee el}</span> puede alguien venir para arriba con algo inusual? (Posiblemente con alguna explicación o referencias).

Answer 1

La función exponencial es la única solución del problema de valor inicial

<span class="math-container">$y'(x)=y(x) , \quad y(0)=1$</span>.

Answer 2

También podemos definir la $e^x$ como sigue:

• la función inversa de a$\ln x$, la definición de $\ln x$ independientemente de la siguiente manera

$$\ln x := \int_1^x \frac{dt}{t}$$

• la única solución para IVP $f'(x)=f(x)$ con $f(0)=1$ cuya existencia está garantizada por la Existencia y Unicidad" Teoremas de primer orden IVP

Answer 3

Lanzar $n$ bolas en $n$ papeleras uniformemente al azar, y tome $n \to \infty$. Definir $\frac{1}{e}$ a ser el limitante de la fracción de bandejas vacías.

Un vehículo se mueve de un punto a a $A$ a $B$ , con una velocidad igual a la distancia restante a $B$. Definir $1-\frac{1}{e}$ a ser la fracción de la distancia recorrida después de una unidad de tiempo.

Dado positivo $x$, considerar un conjunto de variables aleatorias de Bernoulli independientes con $\sum_{i=1}^n p_i = x$. Como $n \to \infty$ e $\max_i p_i \to 0$, definir $e^{-x}$ a la probabilidad de que todos sean iguales a cero.

Answer 4

Definir el valor en racionales a través de potencias y raíces y, a continuación, muestran que existe una única función continua que está de acuerdo con estos valores.

Definir en primer lugar para los números naturales:

Definir $e^2 = e \times e$, $e^3 = e \times e \times e $, etc.

Ahora definir para otros números enteros:

$e^0 = 1$, $e^{-n} = \frac{1}{e^n}$, etc.

Ahora para otros números racionales (un poco más):

$e^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{e^p}$

Finalmente, para los números irracionales $x$, usted tendrá que demostrar que esta definición evaluado para cualquier secuencia de números racionales que converge a $x$ tiene un límite y que es el mismo para todas las secuencias que convergen a $x$.

Esto es difícil, especialmente en el último paso, pero creo que se ajuste a un común ingenua idea de lo que exponenciación es. Solemos aprender en esta secuencia.

Answer 5

También se puede definir la función exponencial así: <span class="math-container">$ e ^ x = \lim_{n\to\infty} \frac{f_n(x)}{f_n(-x)} $$</span> donde <span class="math-container">$$ fn(x) = \sum{j=0}^n \frac{(2n-j)!} {j! (n-j)!} x ^ j $$</span>