Derivada direccional para una función por piezas.

Question

Considere la función$f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $$ f (x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2} &\text{if} (x,y)\neq (0,0)\\ 0 &\text{if} (x,y)=(0,0) \end {casos} $$ ¿Para qué vectores$v=(v_1,v_2)\neq(0,0)\in\mathbb{R}^2$ existe el derivado direccional$D_vf(0,0)$? Evaluar el derivado direccional donde quiera que exista.

He logrado reducir esto a$$D_vf(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{v_1v_2}{h(v_1^2+v_2^2)}$$ and as far as I'm aware this can only exist if one of $ v_1$ or $ v_2$ is $ 0$, but not both by the original condition. If this is the case does that mean the directional derivative only exits for $ v = (v_1,0) \; \ text {o} \; v = (0, v_2)$? If that is the case, how would I find the value of the directional derivative as it comes down to $ D_vf (0,0) = \ frac {0} {0} $?

Answer 1

Si este es el caso, ¿quiere decir que la derivada direccional sólo sale para $v=(v_1,0)$ o $v=(0,v_2)$?

Sí, estás en lo correcto. Debido a que el límite no existe para $v_1\neq 0\neq v_2$, la derivada direccional de $f$ no existe para $v_1\neq 0\neq v_2$.

Si ese es el caso, ¿cómo puedo encontrar el valor de la derivada direccional que viene de a $D_vf(0,0)=\frac00$?

¿Dónde se $\frac00$ aparecen? Considere la posibilidad de $v\neq 0$. Por lo tanto, si $v_1=0$, $v_2\neq 0$ e $$ \frac{v_1v_2}{h(v_1^2+v_2^2)}=\frac{0\cdot v_2}{h(0^2+v_2^2)}=\frac{0}{hv_2^2}=0. $$

---

El resultado es menos sorprendente si se considera por $(x,y)\neq (0,0)$$r>0$. $$ f(rx,ry)=\frac{rxry}{(rx)^2+(ry)^2}=\frac{xy}{x^2+y^2}. $$ Por lo $f$ es constante a lo largo de los rayos de partida desde el origen. Si $x=0$ xor $y=0$, $f$ va continuamente a$0$$r\to 0$. Desde $f$ es constante en el rayo, la derivada direccional es, obviamente,$0$. Pero si $x\neq 0\neq y$, la función de $f$ es constante$\frac{xy}{x^2+y^2}\neq 0$$r>0$$0$$r=0$. Por lo tanto $f$ tiene un salto de aquí. Por lo tanto, la derivada direccional se convierte en $\pm\infty$ dependiendo de si el salto se va hacia arriba o hacia abajo.

Answer 2

Tenga en cuenta que para$v=(v_1,0) \; \text{or} \; v=(0,v_2)$

PS