¿Encontrar la suma de los múltiplos de $3$ y $5$ por debajo del $709$?

Question

Simplemente no puedo averiguar esta pregunta:

Encontrar la suma de los múltiplos de $3$ o $5$bajo $709$por ejemplo, si tenemos una lista de todos los números naturales por debajo de $10$ que son múltiplos de % de % de $3$ o $5$, obtenemos $3$, $5$, $6$ y $9$. La suma de los múltiplos es $23$.

Answer 1

Hay $\displaystyle\left\lfloor\frac{709}{3}\right\rfloor = 236$ múltiplos de $3$ $709$, $\displaystyle\left\lfloor\frac{709}{5}\right\rfloor = 141$ múltiplos de $5$ por debajo del $709$ y $\displaystyle\left\lfloor\frac{709}{15}\right\rfloor = 47$ múltiplos de $15$ por debajo del $709$.

Por el principio de inclusión y exclusión:

$$\mathop{\sum{(n|3\ \vee\ n|5)} n}{ n \leq 709} = \mathop{\sum{n|3} n}{ n \leq 709} + \mathop{\sum{n|5} n}{ n \leq 709} - \mathop{\sum{n|15} n}{ n \leq 709} $$

Tenga en cuenta que:

$$\mathop{\sum{n|3} n}{ n \leq 709} = 3 + 6 + \cdots + 3·236 = 3(1+2+\cdots + 236) = 3\frac{236·237}{2} = 83898$$

Del mismo modo,

$$\mathop{\sum{n|5} n}{ n \leq 709} = 5 + 10 + \cdots + 5·141 = 5(1+2+\cdots + 141) = 5\frac{141·142}{2} = 50055$$

$$\mathop{\sum{n|15} n}{ n \leq 709} = 15 + 30 + \cdots + 15·47 = 15(1+2+\cdots + 47) = 15\frac{47·48}{2} = 16920$$

Por lo que la suma es: $83898 + 50055 - 16920 = \boxed{117033}$

Answer 2

Que $n_3 = \lfloor \frac{708}{3}\rfloor, \; n_5 = \lfloor \frac{708}{5}\rfloor, \; n15 = \lfloor \frac{708}{15}\rfloor.\;$ entonces usando las sugerencias en los comentarios su suma $S$ es $$ S = 3\sum {k = 1} ^ {n3} k + 5\sum {k = 1} ^ {n5} k-15\sum {k = 1} ^ {n_ {15}} k = 3\frac{n_3(n_3+1)}{2}+5\frac{n_5(n5+1)}{2}-15\frac{n{15}(n_{15}+1)} {} 2} $$ $$ = 3\frac {236\times 237} {2} +5\frac {141\times 142} 15\frac {2} {47\times 48} {2} = 117033 nota $$ en prueba: después de Darth Geek primera difieren de la respuesta, verificado mi $S=117033$ con un pequeño programa.

Answer 3

Ya que,

$709(\mod3)= 1$

$709(\mod5)= 4$

$709(\mod15)= 4$

Ahora, Mira estos 3 serie de A.P. y calcular su suma

$S_3=3+6+9+12\cdots708$. Esto tiene 236 términos.

Y $S_5=5+10+15\cdots705$. Esto tiene 141 términos.

Además, $S_{15}=15+30+45\cdots705$. Esto tiene 47 términos.

La suma solicitada será

$$S=S_3+S5-S{15}$$

Desde entonces, múltiplos de 15 tienen agregados dos veces. (Seguir los comentarios)

Sale $117033$

Answer 4

Si inc/exclusión es desconocido, nota $\,3,5\mid n!+\color{blue}{!15k}\iff 3,5\mid n,\,$ así que los múltiplos de $\,3,5\,$ tienen periodicidad $15,\,$ así que podemos dividir la suma en trozos de cada período siguiente

$$\begin{eqnarray} \color{blue}{0}+\overbrace{{0,3,5,6,9,10,12}}^{\large \rm sum\, =\, \color{#c00}{45}}\ \color{blue}{15}+{0,3,5,6,9,10,12}\ \color{blue}{30}+{0,3,5,6,9,10,12}\ \cdots\qquad\qquad\ \color{blue}{15\cdot 46}+{0,3,5,6,9,10,12}\ \underbrace{15\cdot 47}{\large\color{#0a0}{705}} + \underbrace{15\cdot 47+3}{\large\color{#0a0}{708}}\qquad\quad\ \ \, \ \hline \end{eqnarray} \qquad\qquad$$

% suma total $\, =\, \color{blue}{7\cdot 15\, (47\cdot 46/2)} + 47\cdot \color{#c00}{45}\color{#0a0}{ + 705 + 708} = 117033$