Elemental geometría 3D

Question

Este es sin duda trivial, pero mi viejo cerebro no puede recordar cómo hacerlo.

Asumir un avión.

Un segundo plano intersecta, formando la línea de $AB$. El ángulo de intersección es $\theta$.

Un tercer avión se cruza, cruzando $AB$.

En el punto de intersección, se puede proyectar un triángulo en el Plano 3, cuyos lados son establecidos por las intersecciones del Plano 3 Plano 1 y el Plano 2, respectivamente.

Si el Plano 3 se cruza con $AB$ a 90 grados, el vértice del triángulo (a $AB$) ha ángulo de $\theta$ -- esto debería ser obvio, y si no, que he descrito en el problema equivocado.

Así que supongamos que la intersección del Plano 3 no es de 90 grados, sino otra cosa, $\phi$.

¿Cuál es el ángulo del vértice del triángulo?

(Sugerencias para afirmar esto más claramente, son muy bienvenidos.)

Answer 1

Supongamos su tercer plano corta a plano 1 a lo largo de la línea de $OR$ y 2 plano a lo largo de la línea de $OQ$. Deje $\alpha$ $\beta$ ser los dos ángulos que $OR$ $OQ$ formulario con $AB$ y elija el punto de $R$ tal que $OR=1$. Vamos, a continuación, $P$ ser la proyección de $R$ a $AB$ y elija el punto de $Q$, de modo que $PQ\perp AB$.

De la escuela primaria de la trigonometría aplicada a triángulo $OPR$ $OPQ$ obtenemos $PR=\sin\alpha$$PQ=\cos\alpha\tan\beta$. Podemos entonces calcular $QR^2$ en dos formas, aplicando el coseno de la regla de los triángulos $OQR$ $PQR$ (aviso que $OQ=\cos\alpha/\cos\beta$): $$QR^2 =1+{\cos^2\alpha\\cos^2\beta}-2{\cos\alpha\\cos\beta}\cos\phi =\sin^2\alpha+{\cos^2\alpha\over\cos^2\beta}\sin^2\beta-2{\cos\alpha\over\cos\beta}\sin\alpha\sin\beta\cos\theta.$$ A partir de eso, se puede expresar $\cos\phi$ en términos de $\alpha$, $\beta$ y $\theta$: $$\cos\phi=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\cos\theta.$$

Answer 2

No creo que el problema está bien definido. El ángulo del vértice del triángulo no está totalmente determinada por el ángulo de $\phi$. Diciéndolo de otra manera ... hay infinitamente muchos aviones que hacen un ángulo de $\phi$ con la línea de $AB$, y los diferentes planos le dará diferentes triángulo de vértices de los ángulos.

He aquí un ejemplo ...

Supongamos avión $P1$ es el avión $y=0$ y el avión $P2$ es el avión $x=0$. Entonces la intersección de la línea de $AB$ $z$- eje y $\theta = 90^\circ$. Tome $\phi = \tan^{-1}\tfrac34$.

Una de las posibles avión $P3$ que hace un ángulo de $\phi$ $AB$ es el avión $4x-3z=0$. Se da un triángulo de ángulo del vértice de $90^\circ$.

Construir otro avión $P4$ girando $P3$$AB$$45^\circ$. Claramente $P4$ hace que el mismo ángulo de $\phi$$AB$, pero creo que es evidente que la geometría que se da un triángulo de vértice, ángulo de menos de $90^\circ$.

Si usted no cree que el "obvio" que la reclamación, usted puede confirmar por cálculos. El avión $P4$ ha ecuación de $8x+8y-9z=0$. Su intersección con la a $P1$ es la línea de $8x-9z=0$, y su intersección con la a $P2$ es la línea de $8y-9z=0$. Usted puede calcular el ángulo entre estas dos líneas y confirmar que es menos de $90^\circ$.