¿Esfera de la unidad expresa como contable Unión de grandes círculos?

Question

Deje $S = \{x\in \mathbb{R^3} | d(x,(0,0,0))=1\}.$ Es posible que $S$ es una contables de la unión de "grandes círculos"? Un gran círculo es la intersección de a $S$ con un plano a través de la $(0,0,0)$.

Lo que sé es que la esfera es cerrado y acotado, por lo que es compacto, entonces, dado cualquier apertura de la tapa hay una subcover. Pero los grandes círculos que se cierran, así que probablemente no va a funcionar.

Entonces pensé en el uso de contradicción. Pero cada uno de los grandes círculos son innumerables. Countably de la unión de la multitud innumerable todavía es incontable.

Cualquier sugerencia?

Answer 1

puede reducir la dimensión de la pregunta teniendo en cuenta las intersecciones de sus grandes círculos con un Ecuador de oportunamente solicitada.

¿así puede un círculo formado por un conjunto contable de puntos?

Answer 2

Si usted tiene la teoría de la medida disponible, puede reconocer que grandes círculos tienen cero así cualquier unión contable de ellos tienen cero, y la esfera tiene el área positiva.

Answer 3

Sugerencia: el Baire categoría teorema.

Answer 4

Para elaborar la respuesta haciendo alusión a la categoría de Baire:

El % de esfera $S^2$es un espacio métrico completo (uso métrico inducido por la métrica euclídea restringido a $S^2$). De Baire, un espacio métrico completo no puede ser una Unión contable de conjuntos densos en ninguna parte. Pero un "gran círculo" es denso en ninguna parte: está cerrada y su interior está vacío (ambos fáciles de ver).

Answer 5

supongamos primero que todo gran círculo está en la colección. a continuación, la esfera está también cubierto por los polos de los grandes círculos. pero sólo hay 2 polos por un gran círculo, de modo que la esfera en sí misma sólo tiene una contables conjunto de puntos. contradicción.

así que hay un gran círculo que no se incluyen en la colección. pero esta es la unión de sus intersecciones con los círculos de la colección, y obtenemos una contradicción como antes. esta vez porque cualquiera de los dos grandes círculos se reúnen en exactamente dos puntos.