Computar la serie

Question

Calcule la serie$$1)\space\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n+1}\right)\frac{1}{n(n+1)}$ $$$2)\space\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots(-1)^{n}\frac{1}{n+1}\right)\frac{1}{n(n+1)}$ $

Answer 1

Sugerencia: considere la expansión de fracción parcial de$\frac{1}{n(n+1)}$

Answer 2

En ambos de estos, utilizaremos la suma telescópica $$ \begin{align} \sum_{k=n}^\infty\frac1{k(k+1)} &=\sum_{k=n}^\infty\frac1k-\frac1{k+1}\\ &=\frac1n \end {align} $$

$1)$ Esta es una forma: $$ \begin{align} \sum_{n=1}^\infty\sum_{k=0}^n\frac1{k+1}\frac1{n(n+1)} &=1+\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^n\frac1{k+1}\frac1{n(n+1)}\\ &=1+\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=k}^\infty\frac1{k+1}\frac1{n(n+1)}\\ &=1+\sum_{k=1}^\infty\frac1{k+1}\frac1k\\[6pt] &=1+1\\[12pt] &=2 \end {align} $$$2)$ Aquí hay una manera similar:

$$ \begin{align} \sum_{n=1}^\infty\sum_{k=0}^n(-1)^k\frac1{k+1}\frac1{n(n+1)} &=1+\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^n(-1)^k\frac1{k+1}\frac1{n(n+1)}\\ &=1+\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=k}^\infty(-1)^k\frac1{k+1}\frac1{n(n+1)}\\ &=1+\sum_{k=1}^\infty(-1)^k\frac1{k+1}\frac1k\\ &=1+\sum_{k=1}^\infty(-1)^k\frac1k-\sum_{k=1}^\infty(-1)^k\frac1{k+1}\\ &=1+\sum_{k=1}^\infty(-1)^k\frac1k+\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}\frac1{k+1}\\[6pt] &=1-\log(2)+(1-\log(2))\\[12pt] &=2-2\log(2) \end {align} $$

Answer 3

Para la primera parte, reconocer que $\frac {1}{n(n+1)} = \frac {1}{n} - \frac {1}{n+1}$. Por lo que la suma podemos escribir como

$$ \sum_{n=1}^{\infty} ( 1 + \frac {1}{2} + \frac {1}{3}+ \ldots + \frac {1}{n+1} ) ( \frac {1}{n} - \frac {1}{n+1}) $$

Romper este en los términos del paréntesis derecho, y encontramos que, en términos consecutivos cancelar. Tenga en cuenta que estamos cancelando términos que están directamente uno al lado del otro, así que este paso se justifica. Nos gustaría obtener

$$\sum_{n=1}^{\infty} \big[ (1 + \frac {1}{2} + \ldots + \frac {1}{n+1}) - (1 + \frac {1}{2} + \ldots + \frac {1}{n}) \big] (\frac {1}{n}) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{(n+1)n}$$

Por último, evaluar esta como telescópico de la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{(n+1)n} = \sum_{i=1}^{\infty} \frac {1}{n} - \frac {1}{n+1} = 1$.

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Con estas ideas, usted debe tratar de la segunda parte por sí mismo. En la mayoría, usted tendrá que evaluar $\sum_{n=1}^\infty \frac {(-1)^n}{n+1}$, lo cual se puede hacer uso de la MacLaurin de expansión $\ln(1+x) = x - \frac {x^2}{2} + \frac {x^3}{3} - \frac {x^4}{4}$ para un adecuado valor de $x$.