Para la intuición, usted puede descubrir que la única variable de Taylor aproximaciones, comenzando con el
\begin{align*}
f(x) &= f(x_0) + \int_{x_0}^x f'(s) \, ds \\
&\approx f(x_0) + \int_{x_0}^x \underbrace{f'(x_0) + f''(x_0)(s - x_0)}_{\text{first-order approximation to %#%#%}} \, ds \\
&= f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x - x_0)^2.
\end{align*}
El uso de un orden superior aproximación a $f'(s)$, como
\begin{equation*}
f'(s) \approx f'(x_0) + f''(x_0) (s - x_0) + \frac{f'''(x_0)}{2}(s - x_0)^2
\end{ecuación*}
los rendimientos de orden superior Taylor aproximaciones a $f'(s)$.
Multivariable Taylor teoremas que se puede deducir de la única variable de caso de la siguiente manera. Si $f(x)$, introducir la función
\begin{equation*}
g(t) = f(x_0 + t(x - x_0)).
\end{ecuación*}
Tenga en cuenta que$f:\mathbb R^n \to \mathbb R$$g(0) = f(x_0)$.
A continuación, puede utilizar la aproximación
\begin{equation*}
g(1) \approx g(0) + g'(0)(1 - 0) + \frac{g''(0)}{2}(1 - 0)^2
\end{ecuación*}
para obtener
\begin{equation*}
f(x) \approx f(x_0) + \langle \nabla f(x_0), x - x_0 \rangle + \frac12 \langle x - x_0, Hf(x_0)(x - x_0) \rangle
\end{ecuación*}
donde $g(1) = f(x)$ es el de Hesse de $Hf(x_0)$$f$.
Usted puede obtener un riguroso multivariable de Taylor teorema manteniendo el resto. El resto término para $x_0$ le da un resto término para $g$.
Para obtener una rigurosa del teorema de Taylor en la única variable de caso, me gusta el enfoque siguiente. Supongamos que $f$ es continua en a $f:[x_0,x] \to \mathbb R$
y diferenciable en a $[x_0,x]$. Vamos
\begin{equation*}
\tag{%#%#%} h(s) = f(s) - f(x_0) - f'(x_0)(s - x_0) -\frac{M}{2}(s - x_0)^2
\end{ecuación*}
donde $(x_0,x)$ es elegido de manera que $\spadesuit$. Tenga en cuenta que $M$ y
$h(x) = 0$ automáticamente.
Por el teorema de Rolle, existe $h(x_0) = 0$ tal que $h'(x_0) = 0$.
Usando el teorema de Rolle , de nuevo, no existe
$z_1 \in (x_0,x)$ tal que $h'(z_1) = 0$.
Pero esto implica (el uso de $z_2 \in (x_0,z_1)$)) que
\begin{equation*}
M = f''(z_2).
\end{ecuación*}
Dejando $h''(z_2) = 0$ $(\spadesuit$ llegamos a la conclusión de que
\begin{equation*}
f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(z_2)}{2}(x - x_0)^2
\end{ecuación*}
para algunos $s = x$.
Este argumento puede extenderse con facilidad para el rendimiento de orden superior teoremas de Taylor con resto de los términos.
