$c_0$ no es compacto en$\ell^\infty$

Question

Deje que$c_0$ sean las secuencias con$\lim_{n\rightarrow \infty} = 0$. Muestre que la bola unitaria cerrada$\{x\in c_0, \|x\| \leq 1\}$ no es compacta en$\ell^\infty$.

Conozco un lema que dice que la bola de unidad cerrada infinita no es compacta en espacios normados de dimensión infinita.

Esto me parece extraño. ¿No convergen todas las subsecuencias de secuencias en$c_0$?

Answer 1

Deje que$e_n$ sea$0$ excepto un$1$ en la coordenada$n$ th. Claramente $e_n \in c_0$. Luego$\|e_n\|_\infty = 1$, pero$\|e_n -e_m \|_\infty = 1$ siempre que$n\neq m$. Por lo tanto,$e_n$ no puede tener subsecuencias convergentes, por lo tanto, el conjunto$\{ x \in c_0 | \|x\|_\infty \leq 1 \}$ no puede ser compacto.

Y sí, todas las subsecuencias de$c_0$ deben converger, ya que cualquier subsecuencia de una secuencia convergente debe converger al mismo límite.

Answer 2

Definir $e_n$ a ser la secuencia que es cero en todas partes, excepto en $n$ donde su aquél. A continuación, $||e_n||=1$ y si tenemos en cuenta la secuencia de $\{e_n\}_{n=1}^\infty$ luego me dicen que no tiene convergente larga. En particular, observe que la secuencia converge pointwise a $0$, por lo que cualquier límite tendría que ser $0$. Pero tenemos que $||e_n||=1$, por lo que no puede converger en la norma a $0$. Lo que no tiene convergente larga.

Observe que la pregunta está preguntando por una convergente larga de una secuencia de secuencias. No convergente larga de un elemento de $C_0$.