Calcular $\sum\limits_{n=1}^\infty (n-1)/10^n$ usando lápiz y papel

Question

¿Cómo se puede calcular el $\sum\limits_{n=1}^\infty (n-1)/10^n$ usando nada más que una pluma y lápiz? Simplemente escribiendo esto en cualquier simbólico de la calculadora nos dará $1/81$. Yo también podría encontrar esta fórmula si en realidad estaba mirando los números dados, pero nunca he tratado de trabajar hacia atrás. Por atrás, me refiero a ser dado a la suma de la fórmula y determinar el convergente con límite (si existe).

Así que suponiendo que no sabíamos el límite de esta suma fórmula se $1/81$ y que no tenemos ningún software para la asistencia, ¿cómo podemos calcular esta suma fórmula sin tener que tomar esta suma hasta el infinito?

Answer 1

T. Bongers ha proporcionado un método general, pero espero que lo siguiente pueda ayudarlo a comprenderlo mejor. Escriba$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n-1)}{10^n}=\frac{(1-1)}{10}+\frac{(2-1)}{10^2}+\frac{(3-1)}{10^3}+\cdots\tag{1} $ $ Por lo tanto,$$10\cdot\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n-1)}{10^n}=(1-1)+\frac{(2-1)}{10}+\frac{(3-1)}{10^2}+\cdots\tag{2}$ $ Ahora reste$(1)$ de$(2)$. Como resultado, obtenemos $$ \begin{align*} 9\cdot\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n-1)}{10^n}&=\frac{(2-1)-(1-1)}{10}+\frac{(3-1)-(2-1)}{10^2}+\frac{(4-1)-(3-1)}{10^3}+\cdots\\ &=\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+\cdots\\ &=\frac{1}{1-1/10}-1\\&=\frac{1}{9}\end {align *}$$ Hence, $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n-1)}{10^n}=\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{9}=\frac{1}{81}$ $

Answer 2

Sabemos que $$ \begin{align} A&=\hphantom{1+}\frac1{10}+\frac1{10^2}+\frac1{10^3}+\frac1{10^4}+\dots\\ 10A&=1+\frac1{10}+\frac1{10^2}+\frac1{10^3}+\frac1{10^4}+\dots\\[4pt] 9A&=1 \end {align} $$ So$\frac1{10}+\frac1{10^2}+\frac1{10^3}+\frac1{10^4}+\dots=A=\frac19$.

Del mismo modo, $$ \begin{align} \color{#C00000}{\frac1{10}}A&=\frac1{10^2}+\frac1{10^3}+\frac1{10^4}+\frac1{10^5}+\dots\\ \color{#C00000}{\frac1{10^2}}A&=\hphantom{\frac1{10^2}+}\frac1{10^3}+\frac1{10^4}+\frac1{10^5}+\dots\\ \color{#C00000}{\frac1{10^3}}A&=\hphantom{\frac1{10^2}+\frac1{10^3}+}\frac1{10^4}+\frac1{10^5}+\dots\\ \color{#C00000}{\frac1{10^4}}A&=\hphantom{\frac1{10^2}+\frac1{10^3}+\frac1{10^4}+}\frac1{10^5}+\dots\\ &\vdots\quad\text{summing the equations above}\\ \color{#C00000}{A}\hphantom{A}A&=\frac1{10^2}+\frac2{10^3}+\frac3{10^4}+\frac4{10^5}+\dots \end {align} $$ So$\frac1{10^2}+\frac2{10^3}+\frac3{10^4}+\frac4{10^5}+\dots=A^2=\frac1{81}$.

Answer 3

PS

Como una imagen: