¿Esta serie es convergente o divergente?

Question

Por favor preguntar, qué puedo hacer acerca de la serie

$$ \left(\frac{1}{3}\right) ^ 2 + \left (\frac {1\times 4} {3\times 6} \right) ^ 2 + \left (\frac {1\times 4\times 7} {3\times 6\times 9}\right)^2+...+\left (\frac {1\times 4\times 7\times...\times (3n-2)} {3\times 6\times 9\times...\times3n}\right)^2+... $$

De hecho, la prueba de razón de falla. Gracias.

Answer 1

Que $an$ ser la expresión de th $n$. El cociente de términos sucesivos es %#% $ de #% así, la serie converge por prueba de Raabe, que nos dice eso si $$\frac{a{n+1}}{an} = \frac{(3n+1)^2}{9(n+1)^2} = 1 - \frac{4}{3n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right).$ $ entonces la serie converge absolutamente si $$\left|\frac{a{n+1}}{a_{n}}\right| \sim 1 - \frac{s}{n} \hspace{5ex}(n\to\infty),$, diverge si $s>1$ y convergen o divergen si $s

Answer 2

PS