Problemas para entender la definición de Borel

Question

La definición en mi libro es:

La colección $B$ de los conjuntos de Borel de números reales es el más pequeño $ \sigma $ -algebra de conjuntos de números reales que contiene todos los abiertos conjuntos de números reales.

Primero, estoy un poco confundido por la redacción aquí. ¿Significa esto que si una colección $B$ es un $ \sigma $ -y contiene todos los conjuntos abiertos de números reales, luego los conjuntos en $B$ se llaman sets de Borel?

Estoy leyendo algunas de las otras respuestas a esta pregunta ahora, pero parece que diferentes textos usan diferentes definiciones, así que si alguien pudiera arrojar algo de luz sobre la definición que proporcioné, sería útil.

Answer 1

La definición que diste es la estándar: el más pequeño $ \sigma $ -algebra que contiene todos los conjuntos abiertos. Si sabes lo que un $ \sigma $ -algebra es, y si sabes que la intersección de $ \sigma $ -la álgebra en un conjunto dado es siempre un $ \sigma $ -algebra, entonces esto define los conjuntos de Borel, pero no te dice realmente cómo encontrarlos todos, o incluso cómo encontrar cualquier conjunto que no sea un conjunto de Borel. La definición es un poco difícil (pero muy útil).

Obviamente, cada plató abierto es un plató Borel. En un $ \sigma $ -algebra puedes tomar intersecciones contables, así que cualquier intersección contable de conjuntos abiertos es un conjunto Borel. Ahora puedes tomar uniones de tales, y estos son de nuevo conjuntos Borel. Esto continúa para siempre, tomando intersecciones contables de tales, y uniones, e intersecciones, etc. También puedes empezar notando que desde que cada $ \sigma $ -la álgebra está cerrada bajo complementos, todos los conjuntos cerrados son conjuntos de Borel. Las uniones contables de tales son también Borel. Las intersecciones contables de tales son también Borel, y así sucesivamente. Esto puede ser llevado al nivel transfinito de tomar repetidamente uniones contables de intersecciones de uniones de intersecciones .... para obtener cada vez más y más conjuntos de Borel, y eso no los agotará a todos.

Esto te da una idea de lo que Borel establece: Conjuntos potencialmente extremadamente complicados. El hecho de que no todos los conjuntos son conjuntos de Borel es bien conocido, pero no es una trivialidad.

A la luz de la descripción anterior, la definición de resbaladiza es bastante impresionante. Incluso si te deja saber realmente qué conjunto es Borel y cuál no, todavía puedes lograr bastante. Lo más importante: no intente comprender cada uno de los conjuntos de Borel. Es suficiente para entender el concepto de los conjuntos de Borel.

Answer 2

Para tu primera pregunta: ¡cierre! No es suficiente para $B$ para ser un $ \sigma $ -y también para que contenga todos los subconjuntos abiertos. También necesitamos $B$ para ser el más pequeño uno. Así que si $B$ es cualquier aleatorio $ \sigma $ -algebra que contiene los subconjuntos abiertos, llamada que podemos decir con seguridad es que $B$ contendrá el Borel $ \sigma $ - la álgebra como un subconjunto. Pero $B$ podría ser más grande que el Borel $ \sigma $ -algebra.

Creo que podrías tener problemas con lo que queremos decir con "el más pequeño" $ \sigma $ -algebra que contiene los subconjuntos abiertos. Lo explicaré ahora:

Si $ \mathcal {A}$ es cualquier colección de subconjuntos de un conjunto $X$ el más pequeño $ \sigma $ -algebra de subconjuntos de $X$ que contiene $ \mathcal {A}$ puede producirse tomando la intersección de todas las posibles $ \sigma $ -algebras que contienen los conjuntos de la colección $ \mathcal {A}$ . Pero tomar esta intersección plantea algunas cuestiones importantes que deben resolverse:

1. ¿Esta intersección no está vacía? ¡Sí! Ya que cada $ \sigma $ -La álgebra contiene ambos $X$ y $ \emptyset $ la intersección de todos ellos contiene $X$ y $ \emptyset $ también. Así que no está vacío.

2. ¿Esta intersección es siquiera una $ \sigma $ -¿Álgebra? ¡Sí! ¡Y es muy fácil de probar! Deberías probar si $ \mathcal {F}_{1}$ y $ \mathcal {F}_{2}$ son $ \sigma $ -algebras, entonces también lo es $ \mathcal {F}_{1} \cap \mathcal {F}_{2}$ . La prueba de esto es fácil, y una vez que lo pruebes, la misma prueba exacta funcionaría para la intersección de cualquier colección arbitraria de $ \sigma $ -algebras.

Ok, así que una vez que tengas 1. y 2. arriba contestadas, entonces sabrás que el Borel $ \sigma $ -la álgebra existe, ya que es la intersección de todas las posibles $ \sigma $ -algebras que contienen los subconjuntos abiertos. Una consecuencia inmediata es que si $ \mathcal {B}$ es un $ \sigma $ -que contiene los subconjuntos abiertos, entonces también contiene el Borel $ \sigma $ -algebra.

Answer 3

En primer lugar, para un set de Borel, necesitas tener un espacio topológico. Ahora, mirando la definición que ha proporcionado parece que está considerando la línea real con la topología estándar.

Explicación de su definición: Un conjunto $ \beta $ se dice que es un álgebra de Borel Sigma si se cumplen las dos condiciones siguientes :

1. Contiene todos los juegos abiertos.
2. Es un álgebra sigma y si $C$ es cualquier otro álgebra sigma que contenga todos los conjuntos abiertos entonces $ \beta \subset C$ . (es decir $ \beta $ es el conjunto más pequeño de este tipo.)

Llamaremos a los elementos de tal conjunto como conjuntos de boro. (Obsérvese que $ \beta $ es una colección de conjuntos) (por la intuición que se puede pensar como si estuviéramos añadiendo cumplidos e intersecciones contables de conjuntos abiertos dados a la topología existente).

En caso de $ \mathbb {R}$ Con la topología estándar no es tan fácil encontrar un conjunto que no sea un conjunto de boro. La mayoría de los conjuntos que se pueden pensar son todos los conjuntos de boro. Si estudias la teoría de la medida, eventualmente obtendrás un conjunto que no sea de boro.

Si te sientes cómodo con los espacios topológicos, y si tienes que el álgebra borel sigma depende de la topología, entonces puedo darte un ejemplo simple de un conjunto no borel en un espacio topológico diferente sólo para entender el propósito. Por favor, comenten para hacérmelo saber.

Answer 4

Elementos de los Borel $ \sigma $ -algebra sobre $ \mathbb {R}$ son subconjuntos de $ \mathbb {R}$ . Se llaman conjuntos Borel. Los Borel $ \sigma $ -La álgebra es la más pequeño uno que contiene los juegos abiertos. Más grande $ \sigma $ -las algas contendrían conjuntos no Borel.