Sé que cualquier función acotada con un número finito de discontinuidades es integrable de Riemann en algún intervalo. Es viceversa, es decir ¿Si una función acotada es integrable de Riemann, entonces tiene un número finito de discontinuidades?
Gracias.
No: el contraejemplo clásico es la función de Thomae, $$ f(x) = \begin{cases} 0 & x \text{ irrational} \\ 1/q & x=p/q \text{; $ p,q $ integers and $ (p,q)=1 $} \end{cases}, $$ que es continua en cada irracional y discontinua en cada racional. Se puede demostrar, utilizando propiedades básicas de los racionales, que las sumas superiores convergen a cero (las sumas inferiores son obviamente todas cero), y por tanto la función es integrable de Riemann en digamos, $[0,1]$ con la integral $0$ .
Véase también el Criterio de Riemann-Lebesgue , que dice que una función de Riemann-integrable sólo es discontinua en un conjunto de medida cero. La medida cero es fácil de entender: un conjunto tiene medida cero si se puede cubrir con un conjunto de intervalos de longitud arbitrariamente pequeña.
No. Deja que $f$ en $[0,1]$ se define por $f(x)=0$ a menos que $x=1/n$ para algún número entero positivo $n$ en cuyo caso el valor de $f$ es 1. Entonces $f$ es integrable de Riemann pero discontinua cuando toma el valor $1$ .
Una función sobre un intervalo cerrado es integrable de Riemann si y sólo si es discontinua únicamente en un conjunto de medida de Lebesgue $0$ .
No, por ejemplo, la función
$$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} e^{-x^2}, & x \notin \mathbb{Z}, \\ 2, & x \in \mathbb{Z} \end{array}\right.$$
Tiene un número contable de discontinuidades, pero es integrable en Riemann sobre $\mathbb{R}$ .
Lo que sí es cierto es que una función es integrable de Riemann si el conjunto de discontinuidades es un conjunto de medida de Lebesgue cero. Muy En términos generales, esto implica que se pueden tener, como máximo, un número incontable de discontinuidades en una especie de intervalos "convencionales". Si se buscan ejemplos más patológicos, se pueden generar incontables discontinuidades y aún así estar bien; hay ejemplos en los comentarios.
Muy vagamente hablando entonces... Ya que, por ejemplo, el Conjunto Cantor tiene medida $0$ pero no es contable. Véase también aquí o allí .
@MattSamuel Sí, por supuesto. He actualizado mi respuesta para reflejar esto. Intentaba ceñirme a los conceptos básicos de integración más familiares de integrar sobre intervalos, donde las funciones pueden tener algunos puntos discontinuos, en lugar de pensar en funciones definidas en torno a una definición de conjunto más pegajosa.
Por cierto, funciones reguladas satisfacen esta propiedad, la de tener un número contable de discontinuidades. Véase también Teorema de Froda
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Posible duplicado de Ejemplo de integrable de Riemann $f: [0,1] \to \mathbb R $ cuyo conjunto de puntos de discontinuidad es un conjunto incontable y denso en $[0,1]$ o este y este