Dos veces ser diferenciable con $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ % que $f(x)\to 0$ $x\to\infty$y $f''$ limitada. Mostrar que $f'(x)\to0$ $x\to\infty$. (Inspirado por un comentario o responder a una pregunta diferente)
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Que $|f''|\le 2M$ $\mathbb R$ $M>0$. Por expansión de Taylor, cada $x\in\mathbb R$ y cada $\delta>0$, existe $y\in[x,x+\delta]$, que $$f(x+\delta)=f(x)+f'(x)\delta+\frac{1}{2}f''(y)\delta^2.$ $ sigue que $$|f(x+\delta)-f(x)-f'(x)\delta|\le M\delta^2.\tag{1}$ $ desde $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$, $\delta>0$ de fijación y dejar que $x\to\infty$ $(1)$, tenemos % $ $$\limsup_{x\to\infty}|f'(x)|\le M\delta.$$\delta>0$es arbitrario, la conclusión sigue.
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Hagen von Eitzen
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Que $M$ sea un límite para $f''$. Entonces $|f'(x+h)-f'(x)|\le M|h|$ % todos $x,h$. Dar que $\epsilon>0$. Tenemos que demostrar que $|f'(x)|<\epsilon$ % suficientemente grande todos $x$. $f(x)\to0$, Hay un $x_0$ tal que $|f(x)|<\frac{\epsilon^2}{4 M}$ % todos $x>x_0$. $x>x_0$ De considerar y asumir $f'(x)> 0$. Entonces $f'(x+h)\ge f'(x)-Mh$ $h\ge 0$ y %#% $ #% si en la otra mano $$ \begin{align}f\left(x+\frac {f'(x)}{M}\right)-f(x)&=\int_0^{\frac {f'(x)}{M}}f'(x+h)\,\mathrm dh\\&\ge \int_0^{\frac {f'(x)}{M}}(f'(x)-M|h|)\,\mathrm dh\\&=\frac{(f'(x))^2}{2M}.\end{align}$, del mismo modo tenemos $f'(x)<0$ $f'(x+h)\le f'(x)+Mh$ y por lo tanto, $h\ge 0$ $ en ambos casos nos encontramos con $$ \begin{align}f\left(x-\frac {f'(x)}{M}\right)-f(x)&=\int_0^{-\frac {f'(x)}{M}}f'(x+h)\,\mathrm dh\\&\le \int_0^{-\frac {f'(x)}{M}}(f'(x)+M|h|)\,\mathrm dh\\&=-\frac{(f'(x))^2}{2M}.\end{align}$ $ $$ \left|f\left(x+\frac {|f'(x)|}{M}\right)-f(x)\right|\ge \frac{(f'(x))^2}{2M}$, concluimos $x+\frac {|f'(x)|}{M}>x_0$ y por lo tanto debía ser shown.$\frac{(f'(x))^2}{2M}< 2\cdot \frac{\epsilon^2}{4M}$ $|f'(x)|<\epsilon$ como
