Prueba de ese foro de $a+\frac{1}{a}\in\mathbb{Z}$$a=\pm1$

Question

Me mostró a alguien a probar por inducción que si $a+\frac{1}{a}\in\mathbb{Z}$ también $a^n+\frac{1}{a^n}\in\mathbb{Z}$. Señaló que no era necesario para la inducción ya que, obviamente,$a\in\{1,-1\}$. (Irrelevante, ya que la finalidad de la cesión fue el uso de la inducción.)

He tenido problemas tratando de demostrar este hecho aparentemente trivial. (Por ejemplo, un sub-problema estaba tratando de mostrar que si $a$ es irracional lo es $a+\frac{1}{a}$.)

Pensé asumiendo $a\in\mathbb{R}$, pero si usted tiene cualquier otro supuesto interesante por favor compártelo. Tenga en cuenta que esto no funciona para $\mathbb{C}$ (desde $i+\frac{1}{i}=0$).

Answer 1

Esto es falso. $f(x)=x+1/x$ Entonces es continua en $f$ $(0,\infty)$. Además $\lim{x\rightarrow 0^+}f(x)=\lim{x\rightarrow\infty} f(x)=\infty$ y $f(1)=2$, donde para cada número entero $n\geq 2$ allí existe un número real $a$ tal que $f(a)=n$ por el teorema del valor intermedio. Del mismo modo en $(-\infty,0)$.

Answer 2

Tomar el $a=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$, entonces el $a+\dfrac{1}{a}=3$.

Answer 3

Como ya se mencionó, esto es falso. Sin embargo, si usted asume $a$ es un entero, se puede escribir %#% $ #%

así $$ a+ \frac{1}{a} = \frac{a^2+1}{a} =n$ y $a|a^2+1$ como bueno, por lo tanto, $a|a^2$. El único enteros que satisfacen este son $a | (a^2+1-a^2) = 1$.

Del mismo modo $a=\pm 1$, $a = p/q \in Q$ coprimos, podemos escribir

$p,q$$

para que $$\frac{p^2+q^2}{pq} = n$, por lo tanto, $p | p^2 + q^2$. $p|q^2$, Por lo que implica de $\gcd(q,p) =1$ $p | 1 \cdot q^2$ o $p | 1$. Del mismo modo, podemos mostrar $p = \pm 1$ y $q | p^2 + q^2$ $q | p^2$ así como de concluir. Así que en este caso, si el $q = \pm 1$ es racional, debemos tener $a$ así.

Answer 4

Esto es falso como se puede ver mediante la solución de la ecuación cuadrática $a^2 -na+1 = 0$ que tiene soluciones reales para todos los valores de $n$ excepto $n=0$.

Answer 5

Es un teorema que si usted tiene dos reducido fracciones (es decir, el máximo común divisor del numerador y el denominador es 1), entonces tienen igual denominador, si su suma es un número entero. Por supuesto, de su expresión, es bastante claro que ambos son reducción de fracciones. Así que, esto significa que sus denominadores son iguales. Esto implica que $a=1$. Por supuesto, esto es sólo considerando los enteros positivos, pero esto mismo puede ser extendida a los enteros negativos, considerando el valor absoluto. Por lo tanto, tenemos que $$|a|=1 \Rightarrow a = \pm 1$$

Esto es suponiendo que a es un número entero, sin embargo. Si no lo es, esto no se sostiene.