Descomposición de la variable aleatoria exponencial

Question

Sé que la suma de Exponential random variables independiente sigue Gamma distribution .

Pero

¿Es posible descomponer la variable aleatoria exponencial en variables aleatorias gamma independientes e idénticas?

Answer 1

La distribución exponencial con el parámetro$\lambda$ es la distribución gamma$(1,\lambda)$. La convolución de una distribución gamma$(a,\lambda)$ y una distribución gamma$(b,\lambda)$ es una distribución gamma$(a+b,\lambda)$. Por lo tanto, sumar$n$ iid variables aleatorias con gamma$(\frac1n,\lambda)$ distribución produce una variable aleatoria exponencial con el parámetro$\lambda$

Answer 2

La distribución exponencial de la media$\lambda^{-1} > 0$ es en realidad$\Gamma(1,\lambda)$. Entonces, si tomas$X_1,\dots,X_n$ iid con$\Gamma(n^{-1},\lambda)$, entonces $$ X_1 + X_2 + \ dots + X_n \ sim \ mathcal {E} (\ lambda). $$