Computar $\int\frac{x}{2x^2+x+3}$

Question

$$\int\frac{x}{2x^2+x+3}\,dx$$

Pues bien, para abordar este tipo de ejercicios sé que tengo que comprobar la derivada del denominador. que es $4x + 1$ .

Entonces, puedo reescribir la integral: $\int\frac{0.25(4x+1) - 0.25}{2x^2+x+3}\,dx$ .

Entonces, me sale:

$0.25\int\frac{(4x+1)}{2x^2+x+3}\,dx$ - $0.25\int\frac{1}{2x^2+x+3}\,dx$ . La izquierda es bastante sencilla con $ln|..|$ ,

Problema: ¿alguien tiene alguna "técnica" para resolver la integral correcta? se agradecerán también las pistas.

Edición: tal vez de alguna manera: $0.25\int\frac{1}{2(2x^2/2+x/2+3/2)}\,dx$ = $0.25\int\frac{1}{(x+0.25)^2 + \frac{23}{16}}\,dx$

Answer 1

$$\int \frac { dx }{ 2x^{ 2 }+x+3 } =\int { \frac { dx }{ 2\left( { x }^{ 2 }+\frac { x }{ 2 } +\frac { 3 }{ 2 } \right) } =\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }+\frac { x }{ 2 } +\frac { 1 }{ 16 } -\frac { 1 }{ 16 } +\frac { 3 }{ 2 } } } } =$$ $$\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { dx }{ { \left( x+\frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ 2 }+\frac { 23 }{ 16 } } } =\\ =\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { dx }{ \frac { 23 }{ 16 } \left[ \frac { 16 }{ 23 } { \left( x+\frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ 2 }+1 \right] } } =\frac { 8 }{ 23 } \int { \frac { dx }{ \left[ \frac { 16 }{ 23 } { \left( x+\frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ 2 }+1 \right] } } =\frac { 8 }{ 23 } \frac { \sqrt { 23 } }{ 4 } \int { \frac { d\left( \frac { 4 }{ \sqrt { 23 } } x+\frac { 1 }{ \sqrt { 23 } } \right) }{ { \left( \frac { 4 }{ \sqrt { 23 } } x+\frac { 1 }{ \sqrt { 23 } } \right) }^{ 2 }+1 } } =\frac { 2 }{ \sqrt { 23 } } \arctan { \left( \frac { 4x+1 }{ \sqrt { 23 } } \right) +C }$$

Answer 2

SUGERENCIA:

la segunda integral $\int\frac{1}{2x^2+x+3}dx = \int\frac{1}{2\left(x+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{23}{8}}dx$

Deberías poder utilizar algunas sustituciones para convertirlo en $C\int\frac{1}{u^2+1}du$

Answer 3

Cuando se tiene un polinomio de segundo grado en el denominador con $\Delta <0$ se puede proceder así: encontrar las soluciones, en este caso $\frac{-1}{4} \pm \frac{i\sqrt {23}}{4}$ y luego escribir el polinomio de la forma habitual $$2\Big(x+\frac{1}{4} + \frac{i\sqrt {23}}{4}\Big)\Big(x+\frac{1}{4} - \frac{i\sqrt {23}}{4}\Big)$$ entonces se puede utilizar el hecho de que $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ para deducir $$2x^2+x+3=2\Big(x+\frac{1}{4} \Big)^2+\frac{23}{8}.$$ A continuación, aplique una sustitución para obtener $\frac{1}{1+y^2}$ .

Answer 4

$$\int \frac{x}{2x^2+x+3}dx$$ $$=\frac{1}{4} \int \frac{4x+1}{2x^2+x+3} dx- \frac{1}{4} \int \frac{1}{2x^2+x+3}$$ Supongo que sabes cómo resolver la primera integral [Hazlo usando el sub: $u=2x^2+x+3$ ].

Completa el cuadrado del segundo y sustituye $m=\sqrt{2}x+\frac{1}{2\sqrt{2}}$ para conseguirlo: $$\frac{-1}{4}\int\frac{1}{\left(\sqrt{2}x+\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2+\frac{23}{8}}dx=\frac{-1}{4}\int\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{(m^2+\frac{23}{8})}dm$$ Factorizar el 23/8 y las constantes, para obtener $$\frac{-\sqrt{2}}{23}\int\frac{1}{\frac{8m^2}{23}+1}dm$$

Sustituir $q=2\sqrt{\frac{2m}{23}}$ , resuelve la integral (debería ser fácil conociendo la derivada de arctan(q)). Vuelve a sustituir todo.

La respuesta debería ser la siguiente: $$\frac{1}{4}\ln(2x^2+x+3)-\frac{\tan^{-1}\left(\frac{4x+1}{\sqrt{23}}\right)}{2\sqrt{23}}+C$$

Answer 5

$$\int\frac{1}{2x^2+x+3}dx = \int\frac{1}{2\left(x+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{23}{8}}dx= \frac{2}{\sqrt{23}}\tan^{-1}\left(\frac{4x+1}{\sqrt{23}}\right)+c$$