Un particular Generalizada Autovalor Problema

Question

Datos

Tengo tres $N \times N$ complejo de hermitian matrices $A=xx^{H}$,$R=rr^{H}$ y un positivo-definida la matriz de $B$. Aquí $x$ $r$ dos $N \times 1$ vectores complejos. Deje $\lambda_{i}, 1\leq i\leq N$ denota el N autovalores de B, que también son positivos. Claramente $A$ $R$ son dos clasificar a una positiva semi-definida matrices. $B$ es invertible.

¿Qué necesito saber

• ¿Cuál es el mayor autovalor de la GEVP?

\begin{align} (A\otimes R)v=\gamma (B\otimes R)v \end{align}

• Será el máximo autovalor ser (aparentemente agradable) $||r||^{2}x^{H}B^{-1}x$?

Lo que yo sé

• Considere la posibilidad de la generalización de la Autovalor problema (GEVP) \begin{align} Av=\gamma Bv \end{align} Desde $B$ es invertible, esto es equivalente a encontrar los autovalores de a $B^{-1}A$, de hecho , desde el $A$ es el rango de una matriz, sólo hay un valor propio que será positivo, y se os dará por $x^{H}B^{-1}x$ ($A=xx^{H}$).
• Ahora estoy interesado en las matrices, $A \otimes R$ $B \otimes R$ se $N^{2} \times N^{2}$ en la dimensión. Ahora $A \otimes R$ es un rango de una matriz, y su único no-cero autovalor es $||x||^{2}||r||^{2}$. $B \otimes R$ es positivo semi-definida la matriz de con $N$ de sus autovalores ser $\lambda_{i}||r||^{2}, 1\leq i \leq N$ y el resto de la $N^{2}-N$ autovalores son cero.

Answer 1

El uso de la mezcla de la multiplicación propiedad del producto de Kronecker con $v=x\otimes z$: \begin{align} (A\otimes R)(x\otimes z)= & \gamma (B\otimes R)(x\otimes z) \\ (Ax)\otimes(Rz) = & \gamma(Bx)\otimes(Rz)\\ \end{align} y aviso que cualquier $z$ tal que $Rz=0$ soluciona.

EDITAR el siguiente es El de la origianl derivaciones, aquí a la izquierda ya que siento que la cuestión de los valores de $\gamma$ todavía no está claro en mi mente. Espero que algo de ayuda aquí, dame tus pensamientos más tarde y tal vez voy a ver algo más.

\begin{align} (A\otimes R)v= & \gamma (B\otimes R)v & \text{the original equation}\\ (A\otimes R)v- \gamma (B\otimes R)v = & 0 & \text{subtraction of right term }\\ \left[A\otimes R- \gamma (B\otimes R)\right]v = & 0 & \text{(reverse) distribution of %#%#%}\\ \left[A\otimes R+ (-\gamma B)\otimes R\right]v = & 0 & \text{scalar distributes to either term of Kronecker}\\ \left[(A-\gamma B)\otimes R\right]v = & 0 & \text{Kronecker (reverse) distribution of %#%#%}\\ \end{align}

El uso de la si $v$ todavía es posible aquí. El uso de $R$ y la mezcla de multiplaction propiedad de la Kronecker: \begin{align} (B^{-1} \otimes I)\left[(A-\gamma B)\otimes R\right]v = & 0 \\ \left[B^{-1}(A-\gamma B)\otimes IR\right]v = & 0 \\ \left[(B^{-1}A-\gamma I)\otimes R\right]v = & 0 \end{align}

Los vectores propios de ambos pueden ser usados aquí. Deje $B^{-1}$, de modo que $B^{-1} \otimes I$ es el autovector derecho, y $(B^{-1}A-\gamma I)x=\lambda_x x$ mismo para $x$. Luego tenemos el uso de la mezcla de la multiplicación propiedad \begin{align} & \left[(B^{-1}A-\gamma I) \otimes R\right]\left(x \otimes y\right) \\ =& \left[(B^{-1}A-\gamma I)x\right] \otimes \left(Ry\right) \\ =& \left(\lambda_x x\right) \otimes \left(\lambda_y y\right) \\ =& \left(\lambda_x I x\right) \otimes \left(\lambda_y Iy\right) \\ =& \left(\lambda_x I \otimes \lambda_y I \right) \left(x \otimes y\right) \\ =& \lambda_x \lambda_y(I \otimes I)\left(x \otimes y\right) \\ =& \lambda_x \lambda_y\left(x \otimes y\right) \end{align} Los autovalores de a $Ry=\lambda_y y$ multiplicar con los del sistema original