Mostrar que $S$ es no orientable

Question

Deje $S$ ser un habitual de la superficie cubierta por coordinar los vecindarios $V_1$$V_2$. Suponga que $V_1\cap V_2$ tiene dos componentes conectados, $W_1$, $W_2$, y que el Jacobiano del cambio de coordenadas es positivo en $W_1$ y negativo en $W_2$. Mostrar que $S$ es no orientable.

Sé que, si es una superficie $S$, puede ser cubierto por dos coordenadas barrios, cuya intersección se encuentra conectado, a continuación, la superficie es orientable.

Además, si $f:S\subset\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ es una función continua, en una superficie conectada $S$, $f$ no cambia de signo en $S$. Puede dar cualquier sugerencia! Gracias!

Answer 1

Idea: Si usted tiene un bucle en un colector, puede ser subdividido de tal manera que cada segmento está contenido en un gráfico de coordenadas, y de tal manera que el inicial y final de los segmentos se encuentran en el mismo gráfico. A continuación, el signo del producto de la Jacobians de los sucesivos mapas de transición es independiente de la elección de los gráficos y de la subdivisión.

Ahora si $S$ es orientable, entonces el signo de cualquier bucle debe ser positivo (mediante el uso de una orientada a atlas). Pero si $p \in W_1$$q \in W_2$, y consideramos un bucle que comienza a las $p$, va a $q$ dentro $V_1$, y vuelve a $p$ dentro $V_2$, entonces su signo debe ser negativo.

No estoy del todo seguro de que esto es correcto o que no hay una solución mucho más sencilla, pero es todo lo que puedo pensar ahora.