La prueba de que cualquier sistema lineal no puede tener exactamente 2 soluciones.

Question

¿Cómo se podría probar que para cualquier sistema de ecuaciones lineales (ya sea que todas sean homogéneas o no) sólo se puede tener una de las dos (si esto es cierto):

• Una solución
• Infinitas soluciones
• No hay soluciones

Encontré esto un poco difícil de probar (aunque es algo muy fundamental en cualquier ecuación lineal). La explicación geométrica intuitiva es que una línea sólo puede intersecarse en un punto, y si se intersecta en un punto posterior, no puede ser una ecuación lineal, pero no creo que esto sea una prueba convincente.

Pensé que si asumes que hay dos (o más, pero elegí dos) soluciones para algún sistema lineal, entonces para los puntos intermedios

Conjunto de soluciones 1 : X ₁ , X ₂ ....., X _n
Conjunto de soluciones 2 : X ₁ , X ₂ ....., X _n

Entonces (creo), los puntos entre S ₁ y S ₂ deben ser infinitamente muchos puntos (y por lo tanto, infinitas soluciones) de tal manera que estos puntos también puedan satisfacer el sistema lineal, lo que significaría que el sistema tiene 2 soluciones infinitas.

Sin embargo, no creo que esto sea lo suficientemente riguroso y tampoco entiendo completamente por qué es verdad. ¿Alguien puede ayudar a explicar (corregir) y elaborar la intuición y la prueba de esto?

Answer 1

Supongamos que $\vec v$ y $\vec w$ son soluciones distintas para el sistema $A\vec x = \vec b$ para que $A \vec v = A \vec w = \vec b$ . Entonces $\frac{1}{2}(\vec v + \vec w)$ debe ser distinto de ambos $\vec v$ y $\vec w$ y también debe resolver el sistema ya que: $$ A(\tfrac{1}{2}(\vec v + \vec w)) = \tfrac{1}{2}(A\vec v + A\vec w) = \tfrac{1}{2}(\vec b + \vec b) = \vec b $$ Podemos entonces aplicar el mismo argumento a $\vec v$ y $\frac{1}{2}(\vec v + \vec w)$ para obtener infinitas soluciones distintas.

Answer 2

Tu segunda prueba suena bien. Imaginemos que el sistema de ecuaciones se escribe como $Ax = b$ , donde $A$ es la matriz de coeficientes, $x$ es el vector de variables que estamos resolviendo, y $b$ son las constantes. Ahora supongamos que tenemos dos soluciones distintas $x_1$ y $x_2$ . Entonces $rx_1+sx_2$ también es una solución, si $r+s=1$ - sólo hay que conectarlo y utilizar la linealidad de la multiplicación de matrices.

$$A(rx_1+sx_2) = A(rx_1)+A(sx_2) = rA(x_1)+sA(x_2) = (r+s)b = b$$

Por tanto, tenemos un número infinito de soluciones. Si no te gustan las matrices, puedes escribir fácilmente cada término del sistema de ecuaciones.

Si quieres intuir lo que ocurre, la combinación lineal $rx_1+sx_2$ , donde $r+s=1$ es una línea que une los dos puntos. Cuando $r$ es 1 y $s$ es 0, obtenemos el punto $x_1$ . Cuando $s$ es 1 y $r$ es 0, obtenemos el punto $x_2$ . Otras combinaciones de $r$ y $s$ dar otros puntos.

Sin embargo, hay que tener más cuidado con el primer argumento. En general, cuando se grafican sistemas de $n$ ecuaciones en $n$ incógnitas, las ecuaciones no son líneas, sino $(n-1)$ -planos de dimensión en $n$ -espacio dimensional. Así, para un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas, por ejemplo, tenemos tres planos en un espacio tridimensional. A menos que los planos sean paralelos, la intersección de dos planos es una recta, y la intersección de una recta con un plano es un punto. Ese es el único caso de solución. Si dos planos son paralelos, nunca se cruzan: no hay soluciones. Y por último, si la recta/plano se solapa con otra recta/plano, obtenemos un número infinito de soluciones. Ésa es la intuición de este teorema.

Answer 3

Podemos representar un sistema lineal en notación matricial como $A\vec x=\vec v$ . Supongamos ahora que tenemos $A\vec x=\vec v$ y $A\vec y=\vec v$ con $\vec x \ne \vec y$ , para $a,b$ con $a+b=1$ tenemos, por linealidad: $A(a\vec x + b\vec y)=aA\vec x +b A \vec y=\vec v$ por lo que tenemos infinitas soluciones.

Answer 4

En general, en un espacio vectorial sobre un campo general $F$ el número de soluciones $\vec{x}$ al sistema $$ A \vec{x} = \vec{w} $$ es $0$ o $|\ker A|$ . (Porque si $\vec{x}_0$ satisface la ecuación, entonces el conjunto de soluciones es $\vec{x}_0 + \ker A$ .) Y $|\ker A| = |F|^k$ para algunos $k \ge 0$ .

Suponiendo que el campo base $F$ tiene una cardinalidad infinita $\alpha$ y el espacio vectorial es de dimensión finita, se deduce que el número de soluciones es $0, 1,$ o $\alpha$ (ya que $|F|^0 = 1$ y $|F|^k = \alpha$ para $k \ge 1$ ).