Conectividad y convexidad de algunos conjuntos de matrices

Question

No tengo idea de probar las siguientes afirmaciones:

1. $GL_n(\mathbb C) = \{ M \in M_n(\mathbb C): \det(M) \neq 0 \} $ está abierto y el camino conectado en $M_n(\mathbb C)$ . ¿Es convexo?

2. $SL_n(\mathbb R) = \{ M \in GL_n(\mathbb R): \det (M) = 1 \}$ es cerrado y el camino conectado en $M_n(\mathbb R)$ (Sugerencia: utilizando el hecho de que la función polinómica: $z \to \det((1-z)A + zB)$ tiene un número finito de raíces). ¿Es convexo?

3. El conjunto de matrices diagonalizables de $M_n(\mathbb R)$ es un camino conectado. ¿Es abierto o cerrado? ¿Es convexo?

¿Cuál es la idea general cuando se trata de la conectividad del camino de estos conjuntos de matrices?

Answer 1

Una rotación de Givens $G_{ij}(\theta)$ (ver aquí ) satisface $\det G_{ij}(\theta) = 1$ y es el camino conectado a $I$ por el mapa $t \mapsto G_{ij}(t\theta)$ . Las rotaciones de Givens pueden utilizarse para introducir ceros en una matriz para obtener la descomposición QR (ver aquí ). Nótese que las rotaciones son reales.

En particular, dada una matriz cuadrada $A$ Hay rotaciones de Givens $\Gamma_k$ tal que $\Gamma_1 ... \Gamma_m A = R$ , donde $R$ es triangular superior. De ello se deduce que $\det A = \det R = \prod_k [R]_{kk}$ . Si $A$ es invertible, vemos que $[R]_{kk} \neq 0$ para todos $k$ .

Dado que cada rotación $\Gamma_k$ tiene un camino $\gamma_k$ tal que $\gamma_k(0) = I$ y $\gamma_k(1) = \Gamma_k$ vemos que hay hay un camino $A \to \Gamma_m A \to \cdots \to \Gamma_1 ... \Gamma_m A = R$ .

Si escribimos $R = D+U$ , donde $U$ es estrictamente triangular superior, vemos que el camino $t \mapsto R -tU$ conecta $R$ a una matriz diagonal y $\det R = \det D$ .

1. Desde $\mathbb{C}\setminus \{0\}$ es un camino conectado, para cada $z \neq 0$ hay un camino $\xi_z$ en $\mathbb{C}\setminus \{0\}$ tal que $\xi_z(0) = z, \xi(1) = 1$ por lo que el camino $t\mapsto \operatorname{diag}(\xi_{[D_{11}]}(t),...,\xi_{[D_{nn}]}(t))$ conecta la matriz diagonal $D$ a $I$ . De lo anterior se deduce que cualquier $A \in GL_n(\mathbb C)$ es el camino conectado a $I$ y por lo tanto $GL_n(\mathbb C)$ es un camino conectado. Como $M \mapsto \det M$ es continua, vemos que $GL_n(\mathbb C)=\det^{-1} ( \{0\}^c)$ está abierto. Desde $I, -I \in GL_n(\mathbb C)$ y $0 \notin GL_n(\mathbb C)$ vemos que no es convexo.

2. Vemos que $SL_1(\mathbb R) = \{1\}$ que es trivialmente camino conectado, así que supongamos que $n \ge 2$ . Sea $\delta_k(t) = (1-t+t {1 \over |D_{kk}|}) D_{kk}$ para $k=1,...,n-1$ y observe que el mapa $t \mapsto \operatorname{diag}(\delta_1(t),...,\delta_{n-1}(t), { 1 \over \delta_1(t) \cdots \delta_{n-1}(t)})$ conecta $D$ a la matriz $\operatorname{diag}(...,\operatorname{sgn} D_{kk},...)$ que tiene $\pm 1$ s en la diagonal. Si $A \in SL_n(\mathbb R)$ entonces $\det D = \det A =1$ Por lo tanto, un número par de los $D_{kk}$ son negativos. Al emparejar los negativo $D_{kk}$ y utilizando una rotación Givens adecuada (con $\theta = \pi$ ) vemos que hay un camino desde $D$ a $I$ . Desde $M \mapsto \det M$ es continua, vemos que $SL_n(\mathbb R)=\det^{-1} ( \{1\})$ está cerrado. Desde $J=\operatorname{diag}(-1,-1,1,1,...), I \in SL_n(\mathbb R)$ pero ${1 \over 2} (I+J)$ no es invertible, vemos que $SL_n(\mathbb R)$ no es convexo.

3. Si $A$ es diagonalizable, también lo es $\lambda A$ para cualquier $ \lambda$ Por lo tanto, hay un camino hacia $0$ y, por tanto, el espacio de matrices diagonalizables es un camino conectado. Si $n=1$ entonces claramente el espacio de la diagonal $1 \times 1$ matrices (es decir, $\mathbb{R}$ ) es abierta, cerrada y convexa, por lo que podemos suponer que $n \ge 2$ . Sea $A= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0& 0 \\ & & I \end{bmatrix}$ y $A_n= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0& {1 \over n} \\ & & I\end{bmatrix} $ . Entonces $A_n \to A$ pero $A$ no es diagonalizable y el $A_n$ son, por lo que el conjunto de matrices diagonalizables no es cerrado. Ahora dejemos que $B= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0& 0 \\ & & I \end{bmatrix}$ y $B_n= \begin{bmatrix} 0 & {1 \over n} \\ 0& 0 \\ & & I\end{bmatrix} $ . Entonces $B_n \to B$ pero $B$ es diagonalizable y el $B_n$ no lo son, por lo que el conjunto de matrices diagonalizables no es abierto. Si dejamos que $C_1= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0& 1 \\ & & I \end{bmatrix}$ , $C_2= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0& 0 \\ & & I \end{bmatrix}$ entonces vemos que $C_1,C_2$ son diagonalizables pero ${1 \over 2} (C_1+C_2)$ no lo es.