Cuántos aditivo abelian grupos $G$ de la orden de 16 años tienen la propiedad de $x+x+x+x=0$

Question

Hasta isomorfo, cómo muchos aditivos abelian grupos $G$ de la orden de 16 años tienen la propiedad de tal manera que $x+x+x+x=0$, para cada una de las $x$ en G?

Mi pregunta es que que el teorema se puede utilizar? Mi respuesta es 3. Es ese derecho?

Answer 1

Se sigue de la hipótesis (y la Estructura Teorema de Abelian Grupos) que estos grupos van a ser los productos de $\Bbb Z_2$ y/o $\Bbb Z_4$. En particular, será uno de $\Bbb Z_4\times\Bbb Z_4$, $\Bbb Z_4\times\Bbb Z_2\times\Bbb Z_2$, o $\Bbb Z_2\times\Bbb Z_2\times\Bbb Z_2\times\Bbb Z_2$. Su respuesta es correcta.

Answer 2

El uso de la big gun", la clasificación de finito abelian grupos", vemos que hay $(\mathbb Z/4\mathbb Z)^2$, $\mathbb Z/4\mathbb Z\times (\mathbb Z/2\mathbb Z)^2$ y $(\mathbb Z/2\mathbb Z)^4$.

Answer 3

¿Conoce usted la clasificación teorema de finitely generado abelian grupos? Se establece que $$G \simeq \mathbb{Z}^j \oplus \mathbb{Z}_{p_1^{r_1}}\oplus \mathbb{Z}_{p_2^{r_2}}\oplus ... \oplus \mathbb{Z}_{p_k^{r_k}}$$ where $k$ and the $r_i$'s are positive and the $p_i$'s no son necesariamente distintos de los números primos.

Por lo tanto, hay sólo un número finito de abelian grupos con el fin de 16 años, y sólo un subconjunto de estas satisfacer a su condición, que es que cada elemento tiene orden menor o igual a 4.