La convergencia en $L^1_{loc}$ implica la convergencia en casi todas partes

Question

Deje $f_n\in L^1_{loc}(\mathbb{R})$ ser una secuencia de un localmente integrable funciones tales que para todos los $a<b$ $$\int_a^b|f_n(x)|dx\to 0,$$ al $n\to\infty$. Sabemos que para cada intervalo de $[a,b]$ existe una larga $(f_{p_n})$ que converge pointwise una.e. en $[a,b]$$0$. Pero podemos construir un subsequence que converge a.e. en $\mathbb{R}$. Mi problema es que a la larga $(f_{p_n})$ depende del intervalo de $[a,b]$. Ni siquiera sé si es posible hacer esto o no.

Answer 1

El uso de Cantor de la diagonalización argumento.