¿Tensoring por un plano módulo de preservar pullbacks de pares de monos?

Question

Deje $k$ ser un anillo conmutativo y deje $C$ ser un piso en el módulo $k$. Deje $M$ ser un módulo y deje $A,B \subseteq M$ dos submódulos. Tenemos un pullback diagrama:

donde $s, i, j, t$ son inclusiones. Si nos tensor por $C$ obtenemos el diagrama: Sin embargo, es este un pullback diagrama? No puedo trabajar fuera de cómo para definir el único de morfismos.

Lo siento por el tamaño de las fotos.

Answer 1

Sí. Considere la siguiente conversión de pullback en el núcleo:

$0\to A\cap B\to A\oplus B\stackrel{(i,-j)}{\to} Im(i,-j)\to 0$

es exacto iff $A\cap B$ es el pullback de $i$ $j$ (cumple la misma característica universal). Desde $C$ plano de la siguiente secuencia también es exacta:

$0\to (A\cap B)\otimes C\to (A\otimes C)\oplus (B\otimes C)\stackrel{(i\otimes C,-j\otimes C)}{\to} Im(i,-j)\otimes C\to 0$

Por lo tanto, por el mismo argumento anterior $(A\cap B)\otimes C$ es el retroceso de los dos mapas, por lo tanto $(A\cap B)\otimes C\cong (A\otimes C)\cap (B\otimes C)$.