Resolver para z es número complejo: $z^8 + z^4 - 12 = 0$

Question

Hasta ahora, lo que entendí es que tengo dos soluciones que hacer ahora:

$z^4 = 3$ y $z^4 = -4$

Hemos hecho algo similar a esto con la forma polar en la escuela pero no recuerdo cómo.

¿Alguien me puede mostrar cómo se hace?

Answer 1

Observe que

$$z^4 = 3 = 3 e^{2 \pi i k}$$

para cualquier entero $k$. Tome raíces cuartas:

$$ z_{k} = 3^{\frac 1 4} e^{\frac {2\pi i k}{4}}$$

donde $k = 1,2,3,4$. inserte estos valores de $k$ para obtener 4 raíces.

Proceda de manera similar con $z^4 = -4 = 4e^{\pi i +2 \pi i k}$.

Answer 2

Escribe $z$ en forma polar, es decir, $$ z=r(\cos\theta+i\sin\theta) $$ Entonces sabemos (por la Fórmula de De Moivre) $$ z^4=r^4(\cos4\theta+i\sin4\theta) $$ Ahora escribe, por ejemplo, $3$ en forma polar (en este caso $3\in\mathbb{R}$, así que es fácil): $$ 3=3(\cos0+i\sin0) $$ Ahora, quieres que $z^4=3$, es decir, $$ r^4(\cos4\theta+i\sin4\theta)=3(\cos0+i\sin0) $$ Esto será cierto si, y solo si, \begin{cases} r^4=3\\ 4\theta=0+2\pi n\text{ para cierto }n\in\mathbb{Z} \end{cases} La primera igualdad implica $r=\sqrt[4]{3}$ (ya que $r\in\mathbb{R}_{>0}$) y la segunda igualdad implica $$ \theta=\frac{\pi n}{2}\text{ para cierto }n\in\mathbb{Z} $$ Ahora, vemos que $n=0,1,2,3$ dan cuatro valores diferentes de $\theta$, digamos $\theta_0,\theta_1,\theta_2,\theta_3$, y que elegir cualquier otro entero dará uno de esos cuatro ángulos módulo $2\pi$. En resumen, las cuatro soluciones complejas para $z^4=3$ son $$ z_n:=\sqrt[4]{3}(\cos\theta_n+i\sin\theta_n)\quad(n=0,1,2,3) $$

Answer 3

PISTA:

$$z^4=3\Longleftrightarrow$$ $$z^4=3e^{0i}\Longleftrightarrow$$ $$z=\left(3e^{2\pi ki}\right)^{\frac{1}{4}}\Longleftrightarrow$$ $$z=\sqrt[4]{3}e^{\frac{\pi ki}{2}}\Longleftrightarrow$$ $$z=\begin{cases}\pm\sqrt[4]{3}\\ \pm i\sqrt[4]{3} \end{cases}$$

Con $k\in\mathbb{Z}$ y $k:0-3$