Dé un contraejemplo para demostrar que las dos métricas dadas NO son equivalentes.

Question

Es difícil encontrar un contraejemplo que demuestre que dos métricas no son equivalentes.

Set: $C[0,1] $ de todas las funciones continuas en el intervalo $[0,1]$ .

Métrica 1: $d(x,y) = \max\limits_{t \in [0,1]} |x(t) - y(t)|$ .

Métrica 2: $d^* (x,y) = \int_0^1 |x(t) - y(t)| dt$ .

Answer 1

SUGERENCIA: Basta con encontrar una secuencia $\langle f_n:n\in\Bbb N\rangle$ que converge en una métrica pero no en la otra. Para facilitar la visualización, podríamos intentar encontrar una secuencia que converja a la función cero $z(t)\equiv 0$ en una de las métricas pero no en la otra. También cabe señalar que si $f_n(t)\ge 0$ para todos $t$ entonces $d^*(f_n,z)$ es sólo el área bajo $f_n$ entre $0$ y $1$ mientras que $d(f_n,z)$ es el valor máximo de $f_n(t)$ en $[0,1]$ . ¿Puede elegir las funciones $f_n$ de modo que

• el área bajo ellos permanece igual, mientras que la altura máxima converge a $0$ o
• la altura máxima se mantiene igual, mientras que el área bajo ellas converge a $0$ ?

Una de ellas debería parecer una apuesta mucho mejor que la otra, especialmente en conjunción con la sugerencia de los comentarios. En caso de que, después de pensarlo un poco, sigas sin verlo, he añadido una pista más en el bloque protegido contra spoilers que aparece a continuación.

Triángulos de altura $1$ pueden tener áreas arbitrariamente pequeñas.

Answer 2

De otra manera:

Supongamos que , $X=C[0,1]$ .

Si las dos matrices dadas son equivalentes entonces, el mapa de identidad $id:(X,d^*)\to (X,d)$ definido por $id(f(t))=f(t)$ , $\forall f(t)\in X$ es continua.

No sólo eso $id:(X,d)\to (X,d^*)$ por $id(f(t))=f(t)$ , $\forall f(t)\in X$ también es continua.

Demostramos con un ejemplo que, el mapa de identidad $id:(X,d^*)\to (X,d)$ definido por $id(f(t))=f(t)$ , $\forall f(t)\in X$ es NO continua.

Para ello, considere las funciones, $f_1(t)=t^n$ & $f_2(t)=0$ . Entonces $f_1,f_2\in X$ .

También, $d^*(f_1,f_2)=\int_0^1|f_1(t)-f_2(t)|\,dt=\int_0^1t^n\,dt=\frac{1}{n+1}\to 0$ como $n\to \infty$ .

Pero.., $$d\left(id(f_1(t),f_2(t)\right)=d(f_1(t),f_2(t))=\max_{0\le t\le 1}|f_1(t)-f_2(t)|$$

$$=\max_{0\le t\le 1}t^n=1\not\to0 $$ como $n\to \infty$ .

Por lo tanto, el mapa de identidad $id:(X,d^*)\to (X,d)$ definido por $id(f(t))=f(t)$ , $\forall f(t)\in X$ es NO continua.

Por lo tanto , $d$ & $d^*$ pueden no ser equivalentes.