Toda la extensión de una función en un conjunto con un punto de acumulación

Question

Mientras que el pensamiento acerca de la identidad teorema de la siguiente pregunta vino a mi mente:

Deje $A\subset \mathbb{C}$ ser un conjunto con un punto de acumulación en $\mathbb{C}$. ¿Qué propiedades de una función de $f:A\to \mathbb{C}$ de necesidad, de tal manera que podemos encontrar una extensión de $\tilde{f}:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ with $\tilde{f}(z)=f(z)$ for all $z\en$ and $\tilde{f}$ es una función ?

Mis verdaderos pensamientos son:

• $f$ debe ser local lipschitz continua
• Podríamos tratar de calcular los coeficientes de la Serie de Taylor, (mi primer pensamiento es hacer algo como un límite de polnoymial de interpolación, por lo que tomar una convergencia de la secuencia de $(b_n)_{n\in \mathbb{N}}$ con valores en $A$ y la solución de $V_{(b_n)_{n\in \mathbb{N}}}\cdot (a_n)_{n\in \mathbb{N}}= (f(b_n))_{n\in \mathbb{N}}$, donde $V$ $\infty \times \infty$ Vandermonde de la matriz). Si este trabajo contamos con el único posible canditate para $\tilde{f}$ es decir $$\tilde{f}(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n \cdot z^n$$ because of the identity theorem. So we just need to check whether $f(z)=\tilde{f}(z)$ for all elements of $$, and wheter the radius of convergence of $\tilde{f}$ is infinity. From my very naive point of view this should work iff $f$ admite tal extensión, porque las cantidades en la ecuación lineal son incondicionales convergente. Entonces, ¿cuáles son las condiciones para que la ecuación tiene una solución?

Answer 1

De hecho, uno puede calcular el potencial de los coeficientes de la alimentación de la serie de $\tilde{f}$. Tenemos la acumulación punto de $x$ y a partir de la definición tenemos una secuencia de $(z_n)_{n\in \mathbb{N}}$ which converges to $z$ and $z_k\neq z$ for all $k\in \mathbb{N}$.

Ahora sabemos que $$f\left( \lim_{n\to \infty} z_n \right)=\lim_{n\to \infty} f(z_n)$$ debe mantener la cosa no puede ser una extensión continua y, además, no holomorphic uno.

Wlog podemos decir que $x=0$. Vamos $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ ser los coeficientes de la alimentación de la serie representación de $\tilde{f}$.

A partir de los valores dados ya podemos calcular los coeficientes. Llegamos $a_0$ desde el continuidad y, además, sabemos que siempre que $f$ admite una extensión de holomorphic $$\begin{align*} \lim_{z\to 0} \frac{\tilde{f}(z)-\sum_{k=0}^{n-1} a_k z^k }{z^n} &= \lim_{z\to 0} \frac{\sum_{k=n}^\infty a_k z^k}{z^n}\\ & =\lim_{z\to 0} \sum_{k=n}^\infty a_k z^{k-n} \\ &= a_n \end{align*}$$ deben tener.

Así que toma nuestra secuencia que es un a $0$ convergencia de la secuencia se pueden calcular los coeficientes de partida con $a_1$, $a_2$ y así sucesivamente.

Para asegurarse de que esta sólo es posible cuando los límites existen, pero además la existencia de los límites no implica que nuestra función se admite un holomorphic extensión, incluso si el radio de convergencia de $\sum_{n=0}^\infty a_n \cdot z^n$ es infinito. Aquí tomando $f(z)=\exp\left(-\frac{1}{z^2}\right)$ y $A=\{ \frac{1}{n}: n \in \mathbb{N}\}$ da un ejemplo contrario, como todos los coeficientes ser cero, pero es evidente que nuestra función no es cero.