Demostrar que $x^4\:\equiv\:-4\bmod\:p\:\iff\:p\equiv1\bmod\:4$

Question

Estoy tratando de demostrar que

$x^4\:\equiv\:-4\:(\bmod\:p)\:\text{has a solution}\:\iff\:p\equiv1\:(\bmod\:4)$

Sin embargo no sé cómo ir sobre esto. Agradecería si alguien podría enseñarme los pasos sobre cómo resolver esto.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$x^4+4=[(x+1)^2+1][(x-1)^2+1]$$ Así que si hay una solución a $x^4=-4\pmod p$ $-1$ es un cuadrado modulo $p$, y, en consecuencia, $p=1\pmod4$ o $p=2$. Con la misma identidad, lo contrario también es igual de fácil. Así $$x^4=-4\pmod p\quad\hbox{has a solution}\iff p=2 \hbox{ or } p=1 \pmod 4$$