El coeficiente de $x^{101}$ en la expansión de $(1-x)(1-2x)(1-2^2x)...(1-2^{101}x) =?$

Question

El coeficiente de $x^{101}$ en la expansión de $(1-x)(1-2x)(1-2^2x)...(1-2^{101}x) =?$

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Puedo obtener alguna ayuda por favor?Gracias de antemano

Answer 1

Este es un producto de 102 términos, de modo que el orden más alto de un término en el polinomio resultante es $x^{102}$. El coeficiente de $x^{101}$, con lo que será

$$\begin{align*} &\,1\times(-2^1)\times(-2^2)\times\cdots\times(-2^{101})\\ +&\,(-2^0)\times1\times(-2^2)\times\cdots\times(-2^{101})\\ +&\,(-2^0)\times(-2^1)\times1\times\cdots\times(-2^{101})\\ \vdots&\,\\ =&\,(-1)^{101}\sum_{n=0}^{101}\prod_{\substack{m\in\{0,\ldots,101\}\\m\neq n}}2^m\\ =&\,-\sum_{n=0}^{101}2^{(0+\ldots+n-1+n+1+\ldots+101)}\\ =&\,-\sum_{n=0}^{101}2^{(101\times102)/2-n}=-\sum_{n=0}^{101}2^{5\mathord{,}151-n}\\ =&\,-2^{5\mathord{,}151}\sum_{n=0}^{101}2^{-n}=-2^{5\mathord{,}151}(2-2^{-101})=-2^{5\mathord{,}152}+2^{5\mathord{,}050}. \end{align*}$$