En $a^6+b^6 = c^6+d^3$ ¿tiene una solución no trivial?

Question

Se conjetura que,

$$x_1^8+x_2^8+x_3^8 = y_1^8+y_2^8+y_3^8\tag{1}$$

no tiene soluciones no triviales. Sin embargo, si lo relajamos un poco entonces,

$$x_1^8+x_2^8+x_3^4 = y_1^8+y_2^8+y_3^4\tag{2}$$

se puede demostrar que tiene un número infinito de soluciones primitivas como,

$$1118^8 + 1937^8 + 2502045^4 = 455^8 + 1846^8 + 3200691^4$$

Asimismo, se conjetura que,

$$x_1^6+x_2^6 = y_1^6+y_2^6\tag{3}$$

es sólo trivialmente soluble. Sin embargo,

$$x_1^6+x_2^3 = y_1^6+y_2^3\tag{4}$$

también tiene un número infinito de soluciones, como,

$$5^6+167^3 = 8^6+164^3$$

Pregunta : Hasta dónde podemos relajarnos $(3)$ ? Es

$$a^6+b^6 = c^6+d^3\tag{5}$$

no trivialmente solucionable?

Answer 1

Mea culpa . Debería haber hecho una búsqueda en Mathematica antes de publicar esta pregunta. Normalmente lo haría, pero pensé que si había una solución no trivial para,

$$a^6+b^6 = c^6+d^3\tag{1}$$

entonces puede ser grande. Resulta que es pequeño,

$$15^6+18^6 = 19^6 + (-118)^3$$

y es la única primitiva con $a,b,c,< 100$ . (Más allá de eso, tarda demasiado para mi ordenador, que es bastante lento).

Tendré que revisar mi pregunta a: ¿Existe una solución $a,b,c,d$ ¿todo positivo?

Editar (un día después)

Me acabo de dar cuenta de que, independientemente de la positividad de $a,b,c,d$ que hay un número infinito de soluciones primitivas para $(1)$ utilizando la identidad conocida,

$$(3t^2)^6+(3t-9t^4)^3 = 1+(9t^3-1)^3$$

Todo lo que uno tiene que hacer es encontrar la racionalidad t tal que el segundo término es también un cuadrado,

$$3t-9t^4 = y^2$$

que, tras la transformación a la forma de Weierstrass, es un curva elíptica . Uno de estos puntos es $t=3/13$ lo que da como resultado,

$$27^6+138^6 = 13^{12}+(-25402)^3$$

Otra es $t = 208098704151/634343459737$ (aunque es de suponer que puede haber puntos de menor altura), y así sucesivamente.